第五章 3.1 3.2 组合数及其性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§3　组合问题 3.1　组合 3.2　组合数及其性质 [学习目标]　1.通过实例，理解组合的概念，能利用计数原理推导组合数公式．　2.理解组合数的两个性质，并会求值化简和证明．　3.会应用组合数公式求值，掌握解决组合问题的常见方法． 知识点一　组合 小明五一到石城旅游，要从4处景点A，B，C，D中选择2处，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从4处景点A，B，C，D中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？ 提示：12种；6种． 学生用书第126页 组合与组合问题 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，我们把有关求组合的个数的问题叫作组合问题． [微提醒]　(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． (2)组合的特性：元素的无序性．取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求． (3)根据组合的定义，只要两个组合的元素完全相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合；如果两个组合的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合． 判断下列问题是组合问题还是排列问题，并说明理由． (1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； 解析：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题． (2)从7本不同的书中取出5本给某个同学； 解析：(2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题． (3)10个人互相写一封信，共写了几封信； 解析：(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题． (4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话． 解析：(4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题． 　　方法技巧 判断一个问题是不是组合问题的方法技巧 1．区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题． 2．写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来． 即时练1.(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题： ①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ ②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ ③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？ 解析：(1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关． ②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的． ③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序． (2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合． 解析：(2)可按a→b→c→d顺序写出，即 所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd. 知识点二　组合数公式及其性质 我们已经知道排列与排列数是两个不同的概念，那么如何理解组合与组合数这两个概念？ 提示：同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素合为一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N＋)个元素的所有组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3. 1．组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的组合数，记作C． 学生用书第127页2.组合数公式 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的组合数为C＝ ＝ ＝． 上述这个公式叫作组合数公式． 规定：C＝1. 3．组合数的性质 (1)性质1：C＝C； (2)性质2：C＝C＋C． (链接教材P167例1)(1)计算C－C•A； 解析：(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)解方程：3C＝5A； 解析：(2)由排列数和组合数公式知，原方程可化为 3•＝5•， 则＝，即(x－3)(x－6)＝40. 所以x2－9x－22＝0， 解得x＝11或x＝－2. 经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根． 所以方程的根为x＝11. (3)解不等式：2C＜3C. 解析：(3)因为2C＜3C，所以2C＜3C. 所以2×＜3×. 所以＜，所以x＜. 因为所以x≥2，所以x＝2