第五章 2.1 2.2 排列数公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§2　排列问题 2.1　排列与排列数　 2.2　排列数公式 [学习目标]　1通过实例理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．　2.能利用计数原理推导排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明． 知识点一　排列与排列数 在数学竞赛颁奖仪式上，辅导老师和甲、乙两名特等奖获得者合影留念．师生三人站成一排． (1)辅导老师在正中间时，甲在左边和乙在左边是相同的排法吗？ 提示：(1)不是相同的排法． (2)三人任意排列有多少种可能的排法？ (2)有6种排法． 1．排列 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．排列数 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有不同排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A． 学生用书第120页 [微提醒]　(1)判断一个具体问题是否为排列问题，就是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，判断在安排这m个元素的时候是否有序，有序就是排列，无序就不是排列．而检验是否有序的依据就是交换元素的“位置”，看结果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序． (2)“排列”与“排列数”是两个不同的概念．“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，所谓排成一列，是指与顺序有关．而排列数是指这种排列的个数． 判断下列问题是否为排列问题： (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ 解析：(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题． (2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组，共有多少不同方法？从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，共有多少不同方法？ 解析：(2)第一问，从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组，与顺序有关，此问题为排列问题，而第二问，从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，选出的两名同学与顺序无关，故不是排列问题． (3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 解析：(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题． 　　方法技巧 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 即时练1.判断下列问题是否为排列问题： (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)； 解析：(1)题中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题． (2)选2个小组分别去植树和种菜； 解析：(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题． (3)选2个小组去种菜； 解析：(3)不存在顺序问题，不属于排列问题． (4)选10人组成一个学习小组； 解析：(4)不存在顺序问题，不属于排列问题． (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员． 解析：(5)题中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)，(5)属于排列问题． 学生用书第121页 知识点二　排列数公式 如何计算从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的排列数A呢？ 提示：把从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的排列，看成从n个不同的球中取出m个球，放入排好的m个盒子中，每个盒子里放一个球，根据分步乘法计数原理排列这些球：第1步，从全体n个球中任选一个放入第1个盒子，有n种方法；第2步，从剩下的(n－1)个球中任选一个放入第2个盒子里，有(n－1)种方法；第3步，从剩下的(n－2)个球中任选一个放入第3个盒子里，有(n－2)种方法；……第m步，从剩下的[n－(m－1)]个球中任选一个放入第m个盒子，有[n－(m－1)]种方法，因此根据分步乘法计数原理，从n个不同的球中取出m个球的排列，共有n(n－1)(n－2)•…•[n－(m－1)]种方法． 1．排列数公式 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的排列共有n(n－1)(n－2)•…•[n－(m－1)]种，所以A＝n(n－1)(n－2)•…•[n－(m－1)]．这个公式叫作排列数公式． 2．阶乘 当m＝n时，A＝n(n－1)(n－2)•…•2•1，记作n！，读作：n的阶乘．规定：A＝1，0！＝1． [微提醒]　A可以表示为阶乘形式：A＝＝. (链接教材P161例1)四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来． 解析：先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24(种)． 也可以由排列数公式