第三章 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

章末综合提升 素养一　数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．本章中的数学运算主要涉及以下内容，空间向量的线性运算及其坐标表示，空间向量的数量积及其坐标表示，利用空间向量求空间角及空间距离． 学生用书第112页 体现1　空间向量的线性运算 如图所示，在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c.M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1.用a，b，c表示以下向量： (1)； 解析：(1)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝(＋2＋2)＝a＋b＋c. (2). 解析：(2)＝＋＝＋(－)＝＋＋＝a＋b＋c. 体现2　空间向量的数量积运算 已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)． (1)求|2a＋b|； 解析：(1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)， 所以|2a＋b|＝＝5. (2)若O为坐标原点，在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b? 解析：(2)设存在满足题意的点E(x，y，z)，则有∥，且•b＝0. 因为＝(x＋3，y＋1，z－4)，＝(1，－1，－2)， 所以解得故在直线AB上存在点E，使得⊥b. 体现3　空间角的计算 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN. (1)求异面直线A1D与AM所成的角； 解析：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(5，0，0)，D(0，8，0)，A1(0，0，4)，M(5，2，4)． (1)因为＝(5，2，4)，＝(0，8，－4)， 所以•＝0＋16－16＝0， 所以⊥A1D． 所以异面直线A1D与AM所成的角为90°. (2)求直线AD与平面ANM所成角θ的正弦值； 解析：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(5，0，0)，D(0，8，0)，A1(0，0，4)，M(5，2，4)． (2)因为A1D⊥AM，A1D⊥AN，AM∩AN＝A， 所以A1D⊥平面ANM，所以＝(0，8，－4)是平面ANM的一个法向量． 又＝(0，8，0)，||＝4，||＝8，•＝64， 所以sin θ＝|cos〈，〉|＝＝. 所以AD与平面ANM所成角θ的正弦值为. (3)求平面ANM与平面ABCD夹角的余弦值． 解析：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(5，0，0)，D(0，8，0)，A1(0，0，4)，M(5，2，4)． (3)因为平面ANM的一个法向量是＝(0，8，－4)， 平面ABCD的一个法向量是n＝(0，0，1)， 所以cos〈，n〉＝＝－. 设平面ANM与平面ABCD的夹角为α， 则cos α＝|cos〈，n〉|＝. 所以平面ANM与平面ABCD夹角的余弦值为. 体现4　空间距离的计算 如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°， AB＝AA1＝2A1B1＝2A1C1，A1B1＝1. (1)证明：AB1⊥BC1； 解析：(1)证明：因为AA1⊥平面ABC，又因为∠BAC＝90°，即AB⊥AC，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 因为A1B1＝1，AB＝AA1＝2A1B1＝2A1C1，所以AB＝2，AA1＝，A1C1＝1， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，A1(0，0，)，B1(1，0，)，C1(0，1，)， 所以＝(1，0，)，＝(－2，1，)， 所以•＝(1，0，)•(－2，1，)＝－2＋2＝0， 所以AB1⊥BC1. (2)求点A到平面A1C1B的距离． 解析：(2)由(1)知＝(－2，1，)，＝(0，1，0)，＝(0，0，)， 设平面A1C1B的法向量为n＝(x，y，z)， 令x＝1，则n＝(1，0，)， 所以点A到平面A1C1B的距离为＝＝. 学生用书第113页 素养二　逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．本章中的逻辑推理主要体现在利用空间向量运算判断空间中直线、平面的平行与垂直． 体现5　空间中的平行、垂直问题 如图所示，已知PA⊥平面ABCD