第三章 5 数学探究活动(一)：正方体截面探究-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§5　数学探究活动(一)：正方体截面探究 请回答以下问题： 1．什么叫几何体的截面？ 提示：一个几何体与一个平面相交所得平面图形(包含它的内部)，叫作几何体的截面． 2．截面的边是如何得到的？ 提示：截面的边是平面与几何体的各面的交线． 3．作截线的主要依据是什么？ 提示：(1)基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． (2)基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么它们的交线平行． 用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体．正方体是立体几何的一个重要模型，下面我们来探究用平面截正方体所得截面的形状． [合作探究] 正方体有六个面，用一个平面去截正方体至少要经过三个面，最多经过六个面．所以截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形，如下图． 探究1：　当截面是三角形时，可以是锐角三角形吗？可以是直角三角形吗？可以是钝角三角形吗？ 提示：可以是锐角三角形，但不能是直角三角形、钝角三角形．当截面是三角形时，其三边是平面截正方体有一个公共顶点的三个面得到的，易知此三角形是锐角三角形． 探究2：　如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？ 提示：可以是平行四边形、梯形．当截面是四边形时，该四边形有两条边是平面截正方体的一对对面得到的，因此它们平行，所以截面只能是平行四边形或梯形． 探究3：　当截面是五边形时，可以是正五边形吗？ 提示：不可以．当截面是五边形时，该五边形有两条边是平面截正方体的一对对面得到的，因此它们平行，而正五边形任意两边都不平行，因此截面不可能是正五边形． 探究4：　当截面是六边形时，可以是正六边形吗？ 提示：可以． [典例示范] 已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论： ①截面形状可能为正三角形； ②截面形状可能为正方形； ③截面形状不可能是正五边形； ④截面面积最大值为3. 其中所有正确结论的选项是(　　) A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ D　换换换[如图，连接B1D1，B1C，CD1，A1B，A1D， BD，易知AC1⊥平面B1CD1，当平面α为平面B1CD1时，截面为正三角形，故①正确． 将平面B1CD1进行平移，使之与正方体的表面相交，则交线围成的图形就是截面图形．在平面B1CD1向左平移到过点C1的过程中，截面为三角形，且截面面积逐渐变小．在平面B1CD1向右平移到与平面BDA1重合的过程中，截面为六边形，继续向右平移到过点A的过程中，截面为三角形．所以截面形状不可能为正方形或正五边形，所以②不正确，③正确．当截面为三角形时，截面面积最大为×(2)2sin 60°＝2，当截面为六边形时，设截面为六边形GMEFNH，连接MN.设A1G＝x，0＜x＜2，则GH＝ME＝NF＝x，MG＝HN＝EF＝(2－x)，MN＝2，所以六边形GMEFNH的面积为两个等腰梯形的面积和，设梯形HGMN的高为h1，梯形MNFE的高为h2，则六边形GMEFNH的面积S＝(GH＋MN)•h1＋(MN＋EF)•h2.易知h1＝＝ ， h2＝ ＝ ，所以S＝(x＋2)× ＋[2＋(2－x)]× ＝－x2＋2x＋2，当x＝1时，S取得最大值，Smax＝3.故④正确．故选D．] 即时练1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①当0＜CQ＜时，S为四边形； ②当CQ＝时，S为等腰梯形； ③当CQ＝时，S与C1D1的交点R满足C1R1＝； ④当＜CQ＜1时，S为六边形； ⑤当CQ＝1时，S的面积为. 解析：设截面与D1D相交于T，则AT∥PQ且AT＝2PQ⇒DT＝2CQ.对①，当0＜CQ＜时，则0＜DT＜1.所以截面S为四边形，且S为梯形．所以为真．对②，当CQ＝时，DT＝1，T与D1重合，截面S为四边形APQD1，所以AP＝D1Q＝＝.截面S为等腰梯形．所以为真．对③，当CQ＝时⇒QC1＝，DT＝，D1T＝.利用三角形相似解得C1R1＝.所以为真．对④，当＜CQ＜1时，＜DT＜2.截面S与线段A1D1，D1C1相交，所以四边形S为五边形．所以为假．对⑤，当CQ＝1时，Q与C1重合，截面S与线段A1D1相交于中点G1即为菱形APC1G1.对角线长度分别为和，S的面积为.所以为真．综上，选①②③⑤. 答案：①②③⑤ 学生用书第111页 (1)在棱长为2的正方体AB