第一章 1.3 第2课时 直线方程的两点式 直线方程的一般式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第2课时　直线方程的两点式　直线方程的一般式 [学习目标]　1.掌握直线方程的两点式、截距式．　2.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化，了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系． 知识点一　直线方程的两点式 我们知道，两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程．若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：　＝. 名称 直线方程的两点式 已知条件 已知直线l上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2) 示意图 方程形式 ＝(其中x1≠x2，y1≠y2) 适用条件 斜率存在且不为零 [微提醒]　(1)直线的两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线，也就是说过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程有三种情况： ①当x1≠x2且y1≠y2时，方程为＝； ②当x1＝x2时，方程为x－x1＝0，即x＝x1； ③当y1＝y2时，方程为y－y1＝0，即y＝y1. (2)若将直线方程的两点式＝(x1≠x2，y1≠y2)写成(y－y1)(x2－x1)＝(y2－y1)(x－x1)， 就可以表示过任意两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线，但不能再称之为直线的两点式方程． (链接教材P12例9)(2023·安徽师大附中高二期中)已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ ABC中， (1)求BC边所在直线的方程； 解析：　(1)因为BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 所以由两点式得＝， 即2x＋5y＋10＝0. 故BC边所在直线的方程为2x＋5y＋10＝0. (2)求BC边上的中线所在直线的方程． (2)设BC的中点为M(x0，y0)， 则x0＝＝，y0＝＝－3. 所以M， 又BC边上的中线经过点A(－3，2)， 所以由两点式得＝， 即10x＋11y＋8＝0. 故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 　　方法技巧 已知直线上两点的坐标求直线方程的策略 1．当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程． 2．若点的坐标中含有参数，要注意对参数的讨论． 一般地，在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式先求出斜率，再用点斜式求直线方程． [注意]　由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系． 即时练1.判断正误． (1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(　　) (2)方程＝和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)适用的范围相同．(　　) (3)过点(1，3)和(1，5)的直线也可以用两点式方程来表示．(　　) (4)所有的直线都可以用两点式方程来表示．(　　) 答案：　(1)√ (2)×　[方程＝成立的前提是y1≠y2且x1≠x2.] (3)×　[因为点(1，3)和(1，5)的横坐标相等，故不能用两点式来表示．] (4)×　[与x轴平行或与y轴平行的直线无法用两点式方程来表示．] 即时练2.已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程． 解析：　由于直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 学生用书第10页 知识点二　直线方程的截距式 若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：　＋＝1. 名称 直线方程的截距式 已知条件 直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 示意图 方程形式 ＋＝1 适用条件 斜率存在且不为零，不过原点 [微提醒]　(1)由直线方程的截距式的推导过程可知，截距式是两点式的特殊情况． (2)截距式的特征是x项对应的分母是横截距，y项对应的分母是纵截距，中间以“＋”连接，如－＝1就不是直线方程的截距式． 求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． 解析：　①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0； ②当直线l在坐标轴上的截距不为0时， 可设方程为＋＝1，即x－y＝a， 又因为l过点A(5，2)，所以5－2＝a，a＝3， 所以l的方程为x－y－3＝0，综上所述