第五章 1.3 基本计数原理的简单应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

1.3　基本计数原理的简单应用 　 第 五 章 §1　基本计数原理 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理．　 2.会应用两个计数原理解决实际问题． 学习目标 课 时 精 练 综 合 应 用 随 堂 演 练 内 容 索 引 综　合　应　用 索引 应用1　用计数原理解决组数问题 用0，1，2，3，4五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的电话号码？ 例5 三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(个)． (2)可以排成多少个三位数？ 三位数的首位不能为0，但可以有重复数字．首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(个)． (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4.因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． 1．(变设问)若本例已知条件不变，求能组成多少个能被3整除的无重复数字的四位数？ 一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组成四位数的四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类．所以满足题设的四位数共有3×3×2×1＋3×3×2×1＝36(个)． 变式探究 2．(变设问)若本例已知条件不变，求比2 023大的四位偶数有多少个？ 法一：按个位数字是0，2，4分为三类： 第一类，个位数字是0的有3×3×2＝18(个)； 第二类，个位数字是2的有2×3×2＝12(个)； 第三类，个位数字是4的有2×3×2－1＝11(个)． 则由分类加法计数原理得，比2 023大的四位偶数共有18＋12＋11＝41(个)． 法二：按千位数字是2，3，4分为三类： 第一类，千位数字是2的有2×3×2－1＝11(个)； 第二类，千位数字是3的有3×3×2＝18(个)； 第三类，千位数字是4的有2×3×2＝12(个)． 则由分类加法计数原理得，比2 023大的四位偶数共有11＋18＋12＝41(个)． 组数问题的常见类型及解决原则 1．常见的组数问题 (1)组成的数为“奇数”“偶数”“能被某数整除的数”； (2)在某一特定范围内的数的问题； (3)各位数字的和为某一定值的问题； (4)各位数字之间满足某种关系的问题等． 方法技巧 2．解决原则 (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解． (2)要注意数字“0”不能排在多位数的最高位． 方法技巧 应用2　选(抽)取与分配问题 (1)(2023•辽宁实验中学月考)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有 A．16种 B．18种 C．37种 D．48种 例2 法一：(直接法)以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：第1类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第2类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外三个工厂，其分配方案共有3×3＝9种；第3类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有3×3×3＝27种．综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(种)．故选C． 法二：(间接法)先计算三个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37(种)方案．故选C． √ (2)有六名同学报名参加三个智力项目，每个项目限报一人，且每个项目都有人参加，每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法． 由于每项限报一人，且每个项目都有人参加，每人至多参加一项，则第一个项目有6种报名方法，第二个项目有5种报名方法，第三个项目有4种报名方法，由分步乘法计数原理知，共有6×5×4＝120(种)不同的报名方法． 120 选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 1．当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法． 2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： (1)直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若按顺序抽取，就按分步进行；若按对象特征抽取，则按分类进行． (2)间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 方法技巧 即时练1.将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么