第三章 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

章末综合提升 　 第三章　空间向量与立体几何 提素能　分层突破 单元检测卷 大概念　思维导图 内 容 索 引 大概念　思维导图 索引 索引 提素能　分层突破 索引 素养一　数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．本章中的数学运算主要涉及以下内容，空间向量的线性运算及其坐标表示，空间向量的数量积及其坐标表示，利用空间向量求空间角及空间距离． 体现1　空间向量的线性运算 例1 体现2　空间向量的数量积运算 已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)． (1)求|2a＋b|； 2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5)， 例2 体现3　空间角的计算 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN. (1)求异面直线A1D与AM所成的角； 例3 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(5，0，0)，D(0，8，0)，A1(0，0，4)，M(5，2，4)． 所以异面直线A1D与AM所成的角为90°. (2)求直线AD与平面ANM所成角θ的正弦值； 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(5，0，0)，D(0，8，0)，A1(0，0，4)，M(5，2，4)． 因为A1D⊥AM，A1D⊥AN，AM∩AN＝A， (3)求平面ANM与平面ABCD夹角的余弦值． 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(5，0，0)，D(0，8，0)，A1(0，0，4)，M(5，2，4)． 平面ABCD的一个法向量是n＝(0，0，1)， 设平面ANM与平面ABCD的夹角为α， 体现4　空间距离的计算 如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°， AB＝ AA1＝2A1B1＝2A1C1，A1B1＝1. 例4 (1)证明：AB1⊥BC1； 因为AA1⊥平面ABC，又因为∠BAC＝90°，即AB⊥AC，以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 所以AB1⊥BC1. (2)求点A到平面A1C1B的距离． 设平面A1C1B的法向量为n＝(x，y，z)， 素养二　逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素 养．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．本章中的逻辑推理主要体现在利用空间向量运算判断空间中直线、平面的平行与垂直． 体现5　空间中的平行、垂直问题 如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证： (1)MN∥平面PAD； 例5 由题意得AB，AD，AP两两垂直．如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz. 设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)． 因为M，N分别为AB，PC的中点， 又因为MN⊄平面PAD， 所以MN∥平面PAD． (2)平面PMC⊥平面PDC． 设平面PMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则n1＝(2a，－b，b)． 设平面PDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 令z2＝1，则n2＝(0，1，1)．因为n1•n2＝0－b＋b＝0， 所以n1⊥n2，所以平面PMC⊥平面PDC． 素养三　直观想象 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．本章核心素养——直观想象主要涉及以下内容：利用图形判断或证明空间中直线、平面的位置关系，及空间中的翻折及探索性问题． 体现6　空间中的翻折及探索性问题 如图，正三角形ABC的边长为4，CD为边AB上的高，E，F分别是边AC和边BC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B． (1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由； 例5 AB∥平面DEF，理由如下：在△ABC中，由E，F分别是AC，BC的中点，得EF∥AB．又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AB∥平面DEF. (2)在线段BC上是否存在一点P，