第三章 培优增分5 空间直角坐标系的构建策略-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

培优增分5　空间直角坐标系的构建策略 　 第 三 章 §4　向量在立体几何中的应用 类型一　利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 (2023•北京海淀实验学校高二期中)如图，在四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD满足AD∥BC，且AB＝AD＝AA1＝2，BD＝DC＝2 . (1)证明：AB⊥平面ADD1A1； 典例1 因为AA1⊥底面ABCD，且AB⊂平面ABCD，所以AA1⊥AB． 因为AB＝AD＝2，BD＝2 ，所以AB2＋AD2＝BD2，故AB⊥AD．又AD∩AA1＝A，AD，AA1⊂平面ADD1A1，所以AB⊥平面ADD1A1. (2)求直线AB与平面B1CD1所成角的正弦值； 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz， 设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z)， 令x＝1，得y＝1，z＝2，则n＝(1，1，2)， 设直线AB与平面B1CD1所成的角为θ， (3)求点C1到平面B1CD1的距离． 　　当图形中有明显的互相垂直，且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建立空间直角坐标系，从而解决立体几何问题． 方法技巧 即时练1.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； 以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，4)，D(1，1，0)，C1(0，2，4)， (2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值． 取n＝(2，－2，1)． 设平面ADC1与平面ABA1夹角的大小为θ， 在四边形ABCD中，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，如图． 因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2， 类型二　利用线面垂直关系建系 (2022•全国甲卷)在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底 面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝ . 典例2 (1)证明：BD⊥PA； 因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD， 又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD， 又因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA． (2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值． 设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)， 　　题目中有线面垂直时，可以借助线面垂直寻求两两垂直的直线，从而建立空间直角坐标系解决立体几何问题． 方法技巧 (1)取PC的中点N，求证：DN∥平面PAB； 取BC的中点为E，连接AE， 所以四边形ADCE是正方形． 所以以A为坐标原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系． 又因为DN⊄平面PAB， 所以DN∥平面PAB． (2)求直线AC与PD所成角的余弦值； 设直线AC与PD所成的角为θ， (3)在线段PD上，是否存在一点M，使得平面MAC与平面ACD的二面角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成角的大小；如果不存在，请说明理由． 设平面ACM的法向量为n＝(x0，y0，z0)， 由图知平面ACD的一个法向量为m＝(0，0，1)， 所以|cos〈m，n〉| 设BM与平面ACM所成的角为β， 所以β＝30°. 故存在点M，使得平面MAC与平面ACD的二面角为45°，此时BM与平面MAC所成的角为30°. 类型三　利用面面垂直关系建系 (2023•浙江宁波诺丁汉大学附属中学高二月考)在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD． (1)证明：AB⊥平面VAD； 典例3 所以AB⊥AD，又平面VAD⊥底面ABCD，且平面VAD∩底面ABCD＝AD，所以AB⊥平面VAD． (2)求平面VAD与平面VDB夹角的余弦值． 设n＝(x，y，z)是平面VDB的法向量， 　　利用平面与平面垂直的性质定理，将平面与平面垂直转化为直线与平面垂直，进而建立空间直角坐标系． 方法技巧 即时练3.如图所示，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝ AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点． (1)证明：直线CE∥平面PAB； 如图所示，取PA的中点F，连接EF，BF. 因为E是PD的中点， 由∠BAD＝∠ABC＝90°，得BC∥AD， 所以四边形BCEF是平行四边形，所以CE∥BF. 又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB， 所以CE∥平面PAB． (2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值． 取AD的中点O.