第三章 5 数学探究活动(一)：正方体截面探究-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

§5　数学探究活动(一)：正方体截面探究 　 第三章　空间向量与立体几何 请回答以下问题： 1．什么叫几何体的截面？ 提示：一个几何体与一个平面相交所得平面图形(包含它的内部)，叫作几何体的截面． 2．截面的边是如何得到的？ 提示：截面的边是平面与几何体的各面的交线． 问题导思 3．作截线的主要依据是什么？ 提示：(1)基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． (2)基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么它们的交线平行． 用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体．正方体是立体几何的一个重要模型，下面我们来探究用平面截正方体所得截面的形状． 正方体有六个面，用一个平面去截正方体至少要经过三个面，最多经过六个面．所以截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形，如下图． 合作探究 探究1：当截面是三角形时，可以是锐角三角形吗？可以是直角三角形吗？可以是钝角三角形吗？ 提示：可以是锐角三角形，但不能是直角三角形、钝角三角形．当截面是三角形时，其三边是平面截正方体有一个公共顶点的三个面得到的，易知此三角形是锐角三角形． 探究2：如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？ 提示：可以是平行四边形、梯形．当截面是四边形时，该四边形有两条边是平面截正方体的一对对面得到的，因此它们平行，所以截面只能是平行四边形或梯形． 探究3：当截面是五边形时，可以是正五边形吗？ 提示：不可以．当截面是五边形时，该五边形有两条边是平面截正方体的一对对面得到的，因此它们平行，而正五边形任意两边都不平行，因此截面不可能是正五边形． 探究4：当截面是六边形时，可以是正六边形吗？ 提示：可以． 已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，直线AC1⊥平面α.平面α截此正方体所得截面有如下四个结论： ①截面形状可能为正三角形； ②截面形状可能为正方形； ③截面形状不可能是正五边形； ④截面面积最大值为3 . 其中所有正确结论的选项是 A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ √ 典例示范 例1 如图，连接B1D1，B1C，CD1，A1B，A1D， BD，易知AC1⊥平面B1CD1，当平面α为平面B1CD1时， 截面为正三角形，故①正确． 将平面B1CD1进行平移，使之与正方体的表面相交，则交线围成的图形就是截面图形．在平面B1CD1向左平移到过点C1的过程中，截面为三角形，且截面面积逐渐变小．在平面B1CD1向右平移到与平面BDA1重合的过程中，截面为六边形，继续向右平移到过点A的过程中，截面为三角形．所以截面形状不可能为正方形或正五边形，所以②不正确，③正确．当截面为三角形时， 时，设截面为六边形GMEFNH，连接MN.设A1G＝x，0＜x＜2，则GH＝ 即时练1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)． ①②③⑤ (1)在棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，则过B，D，E三点的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1，所得的截面面积为 如图，取D1C1的中点F，连接DF，EF，BE， 即等腰梯形BEFD为截面，设等腰梯形BEFD的高为h， √ 例2 (2)(2023•长春模拟)如图，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________． 如图，六边形MIHGFE即为截面图形， M，I，E，H，F，G分别为各边的三等分点， 且平面A1BC1∥平面MIHGFE， 即时练2.已知正方体ABCD -A1B1C1D1，任作平面α与对角线AC1垂直，使得平面α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则 A．S为定值，l不为定值 B．S与l均为定值 C．S不为定值，l为定值 D．S与l均不为定值 √ 注意到l1＝l2，S1≠S2，由此可以断定S不为定值，而l有可能为定值．再考虑一般情形． 设六边形J1E1F1G1H1I1为任意一个符合要求的截面，则此截面与前面两个特殊的截面平行． 即时练3.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD -A1B1C1D