2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

2．3.2　 全称量词命题与存在量词命题的否定 ► 对应学生用书P30 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、 命题的否定 语句“¬p(x)”是对语句“p(x)”的否定． 记一记：(1)命题的否定也是一个命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”； (2)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． (3)从集合角度理解命题的否定，相当于集合的“补集”．设命题p：已知全集U，x∈A，则¬p⇔x∈U且x∉A⇔ x∈∁UA. 二、含有一个量词的命题的否定 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x)． 2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)． 【基点小试】 1．已知命题p：∀x∈，sin x>cos x，则命题p的否定为(　　) A．∀x∉，sin x>cos x B．∀x∉，sin x≤cos x C．∃x∈，sin x>cos x D．∃x∈，sin x≤cos x 解析：选D.命题p：∀x∈，sin x>cos x是全称命题，故其否定命题为：∃x∈，sin x≤cos x. 2．命题“∃x<0，x2＋2x－m>0”的否定是(　　) A．∀x≥0，x2＋2x－m≤0 B．∃x≥0，x2＋2x－m≤0 C.∀x<0，x2＋2x－m≤0 D．∃x<0，x2＋2x－m≤0 解析：选C.由题意知，命题“∃x<0，x2＋2x－m>0”的否定是“∀x<0，x2＋2x－m≤0”． 3．已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d命题的否定为____________________________． 解析：由题可知，该命题的否定为若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d. 答案：若a＝b，c＝d，则a＋c≠b＋d 4．命题“在△ABC中，若A>B，则a>b”的否定形式是____________________________． 解析：由题意得命题“在△ABC中，若A>B，则a>b”的否定形式是“在△ABC中，若A>B，则a≤b”． 答案：在△ABC中，若A>B，则a≤b 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　命题的否定 例1.写出下列命题的否定形式，并判断其真假． (1)p：面积相等的三角形都是全等三角形； (2)p：若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零； (3)p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0. 解：(1)¬p：面积相等的三角形不都是全等三角形．真命题． (2)¬p：若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．假命题． (3)¬p：实数a，b，c满足abc＝0，则a，b，c中都不为0.假命题． [总结] 　关键词的否定 ¬p是对命题p的全盘否定，其命题的真假与原命题相反，对一些词语的正确否定是写¬p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”等． 【练一练】 1．命题“若x2－2x－3＝0，x＝3或x＝－1”的否定是(　　) A.若x2－2x－3≠0，x≠3或x≠－1 B．若x2－2x－3≠0，x≠3且x≠－1 C．若x2－2x－3＝0，x≠3或x≠－1 D．若x2－2x－3＝0，x≠3且x≠－1 解析：选D.因为结论为“x＝3或x＝－1”，其否定为“x≠3且x≠－1”，所以原命题的否定是“若x2－2x－3＝0，x≠3且x≠－1”． 2．命题“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”的否定可以是(　　) A．自然数a、b、c都是奇数 B．自然数a、b、c都是偶数 C．自然数a、b、c中至少有两个偶数 D．自然数a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数 解析：选D.命题“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”的否定为“自然数a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数”． 题型二　全称(存在)量词命题的否定 例2.(1)命题∀x>0，x2－2ax－3>0的否定为(　　) A．∃x>0，x2－2ax－3<0 B．∃x>0，x2－2ax－3≤0 C.∃x≤0，x2－2ax－3≤0 D．∀x>0，x2－2ax－3<0 解析：选B.全称量词命题的否定是存在量词命题，改变量词，否定结论，得命题的否定：∃x>0，x2－2ax－3≤0. (2)命题“存在x∈R，使得<1”的否定形式是(　　) A．对任意x∈R，都有≥1 B．对任意x∈R，都有<1 C．存在x∈R，使得＝1 D．存在x∈R，使得≥1 解析：选A.存在量词命题的否定是全称量词命题，改变量词，否定结论，得否定形式：对任意x∈R，都有≥1. [总结] 　全称(存在)量词命题的否定的思路 (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成