第1章 章末总结 (一)集合-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

章末总结　(一)集　合 ► 对应学生用书P15 　高频考点聚焦 考点一　集合的含义与表示 集合中元素的特征是确定性、互异性、无序性．其中互异性是考查的重点，常与集合的表示方法，与集合之间的关系交汇命题，常考题型为已知集合中的元素求参数值，解决方法为根据元素与集合的关系列出等式求解．结合元素互异性检查求解． 例1.设集合A中含有三个元素2x－5，x2－4x，12，若－3∈A，则x的值为___________． [思路点拨]　根据－3∈A可知，2x－5，x2－4x均有等于－3的可能，逐一解方程，并验证是否符合集合中元素的互异性． 解析：∵－3∈A，∴－3＝2x－5或－3＝x2－4x. ①当－3＝2x－5时，解得x＝1，此时2x－5＝x2－4x＝－3，不符合元素的互异性，故x≠1； ②当－3＝x2－4x时，解得x＝1或x＝3，由①知x≠1，且x＝3时满足元素的互异性． 综上可知，x＝3. 答案：3 【练一练】 1．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y＝________． 解析：法一　∵A＝{x，y}，B＝{0，x2}，∴x2≠0，即x≠0. 若A＝B，则解得 此时A＝{1，0}，B＝{0，1}，符合题意， ∴2x＋y＝2. 法二　∵A＝B，∴∴x＝y＝0或 显然x＝y＝0不满足元素的互异性， 故x＝1，y＝0，则2x＋y＝2. 答案：2 考点二　集合间的关系 集合间的关系主要考查集合与集合之间、元素与集合之间的关系．解答与集合有关的问题时，应首先认清集合中的元素是什么，是点集还是数集．根据定义归纳为判断元素与集合间的关系或利用数轴或Venn图表示，进行直观判断．在解决含参数的不等式(或方程)时，一般对参数进行讨论，分类时要“不重不漏”． 例2.设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠∅，B⊆A，求a，b的值． [思路点拨]　由B⊆A讨论B的各种情况，分别求解． 解：由B⊆A知，B中的所有元素都属于集合A，又B≠∅，故集合B有三种情形：B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1，1}． 当B＝{－1}时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}，故a＝－1，b＝1； 当B＝{1}时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}，故a＝b＝1； 当B＝{－1，1}时，B＝{x|x2－1＝0}，故a＝0，b＝－1. 综上所述，a，b的值为或或 【练一练】 2．若集合A＝，B＝{x|mx＝1}，且B⊆A，则m的值为(　　) A.2 B．－3 C．2或－3 D．2或－3或0 解析：选D.∵B⊆A，A＝，∴B＝∅或B＝或B＝. ①当B＝{x|mx＝1}＝∅时，m＝0； ②当B＝{x|mx＝1}＝时，＝－，可得m＝－3； ③当B＝{x|mx＝1}＝时，＝，可得m＝2. 综上所述，m的值为0或－3或2，故选D. 考点三　集合的运算 集合的运算主要包括交集、并集和补集运算，这是高考对集合部分的主要考查点，常与不等式、方程等知识交汇考查．若集合是列举法给出的，在处理有关交、并、补集的运算时常结合Venn图处理．若与不等式(组)组合命题时，一般要借助于数轴求解．解题时要注意各个端点能否取到． 例3.已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1<x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}． (1)用列举法表示集合A与B； (2)求A∩B及∁U(A∪B). 解：(1)由题意知A＝{2，3，4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}． (2)由题意知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3，4}． 所以∁U(A∪B)＝{0，5，6}． 【练一练】 3．(2022·山西大同高一检测)设U＝{x|x≤10}，A＝{x|－5<x≤6}，B＝{x|x≤－6或x>2}，求： (1)A∩B； (2)(∁UA)∪B，∁U(A∪B). 解：(1)因为A＝{x|－5<x≤6}，B＝{x|x≤－6或x>2}， 所以A∩B＝{x|2<x≤6}． (2)∁UA＝{x|6<x≤10或x≤－5}，所以(∁UA)∪B＝{x|x≤－5或2<x≤10}，A∪B＝{x|x≤－6或－5<x≤10}，所以∁U(A∪B)＝{x|－6<x≤－5}． 考点四　集合关系与运算中的参数问题 根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为A⫋B或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决．在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体．要注意作图准确，分类全面． 例4.已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在实数a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅. 解：(1)A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0或x>2}， ∵(