3.3.2 第一课时 一元二次不等式的解法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

3．3.2　从函数观点看一元二次不等式 ► 对应学生用书P45 第一课时　一元二次不等式的解法 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、一元二次不等式 一元二次不等式 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 一般形式 ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 想一想：已知不等式：①ax2＋2x＋1>0；②x2－2y>0；③－x2－3x<0；④>0. 其中是一元二次不等式的有哪些？ 提示：①当a＝0时不是一元二次不等式；②含有两个未知量；④是分式不等式；③符合一元二次不等式的定义． 二、一元二次不等式的解法 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0 的实数x 叫做二次函数 y＝ax2＋bx＋c的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系(a>0) 根的判别式 Δ＝b2－4ac (a≠0) Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函 数图象 y＝ax2＋ bx＋c 一元二次方 程的根ax2 ＋bx＋c＝0 两个不等实根x1，x2 两个相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不 等式解集 ax2＋bx ＋c>0 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不 等式解集 ax2＋bx ＋c<0 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 记一记：利用相应一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集的情况可以归纳如下： 一元二次不等式，a为正值来定形； 对应方程根求好，心中想想其图象； 大于异根取两边，小于异根夹中间； 大于等根根去掉，小于等根空集成； 大于无根取全体，小于无根不可能！ 注意：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号；解集是指解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合的形式． 【基点小试】 1．不等式x2＋x－6<0的解集是(　　) A．{x|x<－3或x>2} B．{x|－3<x<2} C．{x|x<－2或x>3} D．{x|－2<x<3} 解析：选B.因为方程的两根为－3和2，作出函数y＝x2＋x－6的图象，数形结合可得－3<x<2，故解集是{x|－3<x<2}． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则y>0的解集为(　　) A．{x|－2<x<1} B．{x|－1<x<2} C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3} 解析：选B.由题图知y>0的解集为{x|－1<x<2}． 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　不含参数的一元二次不等式的解法 例1.解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0. 解：(1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝，作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为. (3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图③所示．由图可得原不等式的解集为. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. [总结] 　解不含参数的一元二次不等式的方法步骤 (1)通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且右边为0)； (2)求出相应的一元二次方程的根，有三种情况：Δ＝0，Δ<0和Δ>0(即求相应方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根x1，x2)； (3)画出对应二次函数的草图； (4)结合图形求不等式的解集． 【练一练】 1．解下列不等式： (1)2x2－5x＋2>0； (2)x2－4x＋4≤0； (3)x2－2x＋2>0. 解：(1)方程2x2－5x＋2＝0的解是x1＝，x2＝2.因为对应函数的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是{x|x<或x>2}． (2)方程x2－4x＋4＝0的解是x1＝x2＝2，函数y＝x2－4x＋4的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是{x|x＝2}． (3)因为x2－2x＋2＝0的判别式Δ＝4－4×1×2＝－4<0，所以方程x2－2x＋2＝0无解．又因为函数y＝x2－2x＋2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为R. 题型二　含参数的一元二次不等式的解法 例2.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 【思维点拨】　(