3.3.2 第二课时 一元二次不等式的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

第二课时　一元二次不等式的应用 　 ► 对应学生用书P49 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　三个“二次”关系的应用 例1.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． [思路点拨] →→→→ 解：法一　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根． 由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0， 即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 法二　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a<0，故原不等式的解集为. 【母题探究】　(1)(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集． 解：由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0. ∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0. 解得. (2)(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解：由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a<0.由－＝<0知c>0，∵－＝，＝－， ∴－＝－，＝－，∴不等式cx2＋bx＋a<0， 即x2＋x－<0， 解得－3<x<， 所以，解集为. [总结] 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法： 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． (2)求解步骤： 第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c. 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集． 【练一练】 1．不等式ax2－bx＋c<0的解集为{x|x>1或x<－2}，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为(　　) 解析：选C.不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x>1或x<－2}， ∴a<0，∴⇒∴y＝ax2＋bx＋c＝ax2－ax－2a＝a(x2－x－2)， 函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，两个零点为x1＝2，x2＝－1. 2．(2022·浙江金华高一检测)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2或x≥3}，则下列说法正确的是(　　) A．a<0 B．ax＋c>0的解集为{x|x>6} C．8a＋4b＋3c<0 D．cx2＋bx＋a<0的解集为 解析：选AD.因为关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－2或x≥3}， 所以a<0且方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为－2，3， 即3×(－2)＝＝－6，3＋(－2)＝－＝1⇒c＝－6a，b＝－a.因此选项A正确； 因为c＝－6a，a<0所以由ax＋c>0⇒ax－6a>0⇒x<6，因此选项B不正确； 由c＝－6a，b＝－a可知：8a＋4b＋3c＝8a－4a－18a＝－14a>0，因此选项C不正确； 因为c＝－6a，b＝－a，所以由cx2＋bx＋a<0⇒－6ax2－ax＋a<0⇒6x2＋x－1<0， 解得－<x<，因此选项D正确． 题型二　一元二次不等式的实际应用 例2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1). (2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当 即解不等式组，得0<x<，所以为保证