3.2 第一课时 基本不等式的证明-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修1同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

3．2　基本不等式 ≤(a，b≥0) ► 对应学生用书P37 [课程标准]　1.理解基本不等式≤(a，b≥0).　2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题． 第一课时　基本不等式的证明 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、算术平均数、几何平均数与基本不等式 1．算术平均数与几何平均数 对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． 2．基本不等式 如果a，b是正数，那么≤(当且仅当a＝b时，等号成立)，我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式． 记一记：不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较 (1)都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； (2)成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可). 二、两个重要的的不等式 若a，b∈R，则 (1)ab≤，即a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)； (2)ab≤(当且仅当a＝b时，等号成立). 【基点小试】 1．若x≥1，则x＋的最小值为(　　) A． B．2 C． D．5 解析：选A.因为x≥1，所以x＋≥2＝，当且仅当x＝，即x＝时等号成立．所以x＋的最小值为. 2．设正实数x，y满足2x＋y＝1，则xy的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由基本不等式可得2x＋y≥2，即2≤1，解得xy≤，当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，取等号． 3．若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2中最大的是(　　) A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 解析：选D.法一　∵0<a<1，0<b<1，且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D. 法二　取a＝，b＝，则a2＋b2＝，2＝，2ab＝，a＋b＝，显然最大，故选D. 4．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是________． 解析：当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1时，“＝”成立． 答案：a＝1 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　对基本不等式的理解 例1.给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；③∵x，y∈R，xy<0，∴＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解析：选B.①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②当a<0时，不等式不成立，故②是错误的． ③由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确． [总结] 　使用基本不等式必须满足的条件 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是要判断参数是否为正；“二定”是要看和或积是否为定值；“三相等”是一定要验证等号是否成立，如果等号不能成立，则不能用基本不等式求最值． 【练一练】 1．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x>1，则x＋≥2＝2； ②若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4； ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝时，即当x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x>1，所以x＋>2；③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件． 答案：② 题型二　转化为基本不等式求最值 角度1　“不正”问题 例2.已知x>0，则4－2x－的最大值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：选C.x>0时，x＋≥2＝2(当且仅当x＝1时等号成立)， 所以4－2x－＝4－2≤4－2×2＝0，即4－2x－的最大值为0. [总结] 　当所给式子均小于0时，如果积为定值，可以将负号提取，转化为两个正项的和，从而利用基本不等式求最值．要注意不能丢掉前面的负号，同时还要注意不等号方向的变化. 角度2　“不定”问题 例3.(1)当x>时，求函数y＝x＋的最小值； (2)设0<x<2，求函数y＝x(4－2x)的最大值． 解：(1)因为x>，所以x－>0，y＝x－＋＋≥2＋＝， 当且仅当x－＝时，即x＝时，等号成立，故函数y＝x＋的最小值为. (2)因为0<x<2，所以4－2x>0， 因此y＝x(4－2x)＝·2x(4－2x)≤2＝2，当且仅当2x＝4－2x， 即x＝1时，等号成立，故函数y＝x(4－2x)的最大值为2. [总结] 　有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰