专题1.2 锐角三角函数实际应用（四大常考模型）-2023-2024学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题1.2 锐角三角函数实际应用（四大常考模型） 【题型1：背靠背模型】 【题型2：母子型】 【题型3：三角形—+矩形型】 【题型4：拥抱型】 【题型1：背靠背模型】 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高 【典例1】（2023•庐阳区校级模拟）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°． （1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73） 【变式1-1】（2023秋•潼南区月考）北斗卫星导航系统是中国自行研制的卫星导航系统，其由空间段，地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东15°方向． （1）求∠C的度数； （2）求A、C两地的距离（如果运算结果有根号，请保留根号）． 【变式1-2】（2023•利川市模拟）周末，小红和小宇相约一起去郊外劳动基地参加劳动．已知小红家B在小宇家A的北偏西25°方向上，AB＝5km．两人到达劳动基地C处后，发现小宇家A在劳动基地C的南偏西25°方向上，小红家B在劳动基地C的南偏西70°方向上．求小宇家A到劳动基地C的距离AC．（结果保留1位小数；参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.41） 【变式1-3】（2023•甘孜州）“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平距离AD为10米，求该建筑物BC的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：，） 【变式1-4】（2023•原平市模拟）太原解放纪念碑位于省城太原东山的牛驼寨，其主碑造型新颖独特，形似一把巨大的钥匙，寓意牛驼寨是解放太原、打开战争局面的关键要塞，成为解放太原夺取胜利之门的钥匙．某校“综合与实践”活动小组借助无人机测量太原解放纪念碑主碑AB的高度．如图，先将无人机升至距离地面20米高的点D处，测得主碑最高点A的仰角∠α为45°，再将无人机从点D处竖直向上升高至距离地面66.4米高的点E处，测得点A的俯角∠β为30°已知点A，B，C，D，E在同一平面内，求纪念碑主碑AB的高度．（结果精确到0.1米；参考数据，） 【变式1-5】（2023春•八步区期中）如图，某工厂C前面有一条笔直的公路AB，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6km，BC＝8km，AB＝10km，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你用尺规作图画出最短路径（不写画法，保留作图痕迹），并求出新建路的长． 【变式1-6】（2023•阜新）如图，小颖家所在居民楼高AB为46m．从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角α是45°，而大厦底部D的俯角β是37°． （1）求两楼之间的距离BD． （2）求大厦的高度CD． （结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【变式1-7】（2023•莲湖区模拟）如图，小明想测量建筑物DE的高度，已知斜坡AB＝120米，斜坡AB的坡度为，建筑物底端D和斜坡的底端A在同一水平线上，小明从坡顶B处沿水平方向前行若干米后至点C处，在点C处用仪器测得该建筑物的顶端E的仰角为60°，建筑物底端D的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，你能帮小明计算出建筑物DE的高度吗？（结果保留根号） 【变式1-8】（2023春•抚顺月考）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由A行驶向B，台风的速度为20千米/小时，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． ​（1）求∠ACB的度数； （2）海港C是否受台风影响？若受台风影响，求台风影响该海港持续的时间有多长？