第二章 4 导数的四则运算法则-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§4　导数的四则运算法则 [学习目标]　1.理解并掌握导数的四则运算法则．　2.能利用导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数． 知识点一　导数的加法与减法法则 1．试利用导数的定义求出h(x)＝x＋x2，φ(x)＝x－x2的导数． 提示：对于函数h(x)＝x＋x2， 因为Δy＝(x＋Δx)＋(x＋Δx)2－x－x2＝(Δx)2＋(2x＋1)Δx， 所以＝＝Δx＋(2x＋1)， 所以当Δx→0时，h′(x)＝1＋2x， 同理可求得φ′(x)＝1－2x. 2．若函数f(x)＝x，g(x)＝x2，那么h(x)，φ(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ 提示：h′(x)＝f′(x)＋g′(x)，φ′(x)＝f′(x)－g′(x). 两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)，即[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)，[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)． [微提醒]　导数的加法与减法法则可以进行推广： ′＝f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x). 求下列函数的导数： (1)y＝x4＋x3＋cos x－ln 5； (2)y＝ln x－sin x； (3)y＝5x＋log2x－3； (4)y＝x7＋tan x； (5)y＝(＋1). 解析：(1)y′＝(x4＋x3＋cos x－ln 5)′＝(x4)′＋(x3)′＋(cos x)′－(ln 5)′＝4x3＋3x2－sin x. (2)y′＝(ln x－sin x)′＝(ln x)′－(sin x)′＝－cos x. (3)y′＝(5x＋log2x－3)′＝(5x)′＋(log2x)′－3′＝5xln 5＋. (4)y′＝(x7＋tan x)′＝(x7)′＋(tan x)′＝7x6＋. (5)因为y＝(＋1)(－1)＝－＋，所以y′＝－x－－x－＝－. 应用加法、减法法则求导时的注意点 1．判断函数的解析式是否是由基本初等函数的和与差构成的形式，若不是，应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式． 2．熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提．　　 即时练1.(多选)设函数f(x)＝sin x－cos x的导函数为f′(x)，则(　　) A．f′(x)＋f(x)＝2sin x B．f′(x)＋f(x)＝2cos x C．f′(x)－f(x)＝2sin x D．f′(x)－f(x)＝2cos x AD　[易得f′(x)＝cos x＋sin x，所以f′(x)＋f(x)＝2sin x，f′(x)－f(x)＝2cos x．故选AD.] 即时练2.函数f(x)＝ln x＋3x－1的图象在点(1，f(1))处的切线方程是(　　) A．4x－y＋2＝0 B．x＋4y＋2＝0 C．x－4y－2＝0 D．4x－y－2＝0 D　[由f(x)＝ln x＋3x－1可得f′(x)＝＋3，故f′(1)＝4，而f＝2，故图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝4＋2＝4x－2，即4x－y－2＝0.故选D.] 知识点二　 导数的乘法与除法法则 1．若函数f(x)＝x2，g(x)＝x，那么′＝f′(x)·g′(x)，′＝吗？ 提示：不等；因为′＝3x2，f′(x)·g′(x)＝2x，所以′≠f′(x)·g′(x). 因为′＝1，＝＝2x，所以′≠. 2.′，′与f′(x)，g′(x)之间有什么关系呢？ 提示： ′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)，′＝. ′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)， ′＝，g(x)≠0. 特别地：′＝kf′(x)(k∈R). [微提醒]　(1)注意f(x)g(x)的导数是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之和． 的导数的分子是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之差，分母是g(x)的平方． (2)[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，′≠. 求下列函数的导数： (1)y＝xnex; (2)y＝； (3)y＝； (4)y＝x2sin x＋. 解析：(1)y′＝′ex＋xn(ex)′＝nxn-1ex＋xnex＝xn-1ex. (2)y′＝′ ＝ ＝. (3)y′＝′ ＝ ＝ ＝＝. (4)由y＝x2sin x＋，可得y′＝2x sin x＋x2cos x＋＝2x sin x＋x2cos x－. 利用导数运算法则的策略 1．分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． 2．如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． 3．利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．　　 即时