第二章 2.2 导数的几何意义-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

2.2　导数的几何意义 [学习目标]　1.通过函数图象直观地理解导数的几何意义．　2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 知识点一　导数的几何意义 1．函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，你能说出它的几何意义吗？ 提示：表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． 2．当Δx变化时，直线如何变化？当Δx→0时，直线变化到哪里？ 提示：直线AB绕点A转动．当Δx→0时，直线变化到过点A与曲线y＝f(x)相切的位置． 1．割线的定义 函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是经过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． 2．切线的定义 如图，当Δx趋于0时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动趋于直线l，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线，或称直线l和曲线y＝f(x)在点A处相切． 3．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义． [微提醒]　(1)函数f(x)在x0处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于0时的极限，若 存在，则函数y＝f(x)在x0处就有导数． (2)f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在切点(x0，f(x0))处的切线的斜率． (3)函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝在x＝0处有切线，但不可导． (1)(2023·广东江门期中)函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是(　　) A．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0 C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3) D．f′(1)>f′(2)>0>f′(3) (2)如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)等于(　　) A． 　　 B．3 C．4 　　 D．5 解析：(1)由函数f(x)的图象可知，当x>0时，f(x)单调递增，所以f′(1)，f′(2)，f′(3)>0，因为随着x的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， 所以f′(1)>f′(2)>f′(3)>0.故选A. (2)根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率，则k＝＝，所以f′(4)＝.故选A. 答案：(1)A　(2)A 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．　　 即时练1.已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，其中A，B，C为图上三个不同的点，则下列结论正确的是(　　) A．f′>f′>f′ B．f′>f′>f′ C．f′>f′>f′ D．f′>f′>f′ B　[由题图可知函数在A点的切线斜率小于0，即f′<0，在B点的切线斜率等于0，即f′＝0，在C点的切线斜率大于0，即f′>0，所以f′>f′>f′.故选B.] 即时练2.(2023·重庆渝中区月考)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，设f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．f′<f－f<f′ B．f′<f′<f－f C．f′<f′<f－f D．f－f<f′<f′ A　[函数f(x)在处的切线为l1，在处的切线为l3，f－f＝为过，两点的直线l2的斜率，由图可知，直线kl1<kl2<kl3，即f′<f－f<f′.故选A.] 知识点二　切线方程 若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，你能写出y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程吗？ 提示：根据点斜式方程：y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为f′(x0)，则y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． [微提醒]　切点(x0，f(x0))在曲线上也在切线上． 已知曲线y＝x3＋，求曲线在点P(2，4)处的切线方程． 解析：因为点P(2，4)在曲线y＝x3＋上， 所以曲线在点P(2，4)处切线的斜率为 k＝ ＝ ＝4. 所以曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. [变式探究]　(变结论)本例曲线方程不变，求曲线过点P(2，4)的切线方程． 解析：设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A， 则切线的斜率为k＝ ＝x， 所以切线方程