第二章 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

章末综合提升 素养一　数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段．本章主要体现在导数的运算以及利用导数研究函数的切线等问题． 体现一　导数的计算 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(　　) A．－e B．－1 C．1 D．e B　[由题意，函数f(x)＝2xf′(1)＋ln x，可得f′(x)＝2f′(1)＋，所以f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.故选B.] 在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式．如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在某一点的邻域中的值，常见的公式有： ex＝1＋x＋x2＋x3＋x4＋…＋xn＋…；sin x＝x－x3＋x5－x7＋…＋(－1)n-1x2n-1＋….则利用泰勒公式估计cos 1的近似值(精确到0.001)为(　　) A．0.536 B．0.540 C．0.544 D．0.549 B　[根据题意，求导可得cos x＝1－x2＋x4－…＋nx2n＋…， 因为1－＝0.5，1－＋≈0.541 7，1－＋－≈0.540 3，1－＋－＋≈0.540 3， 所以cos 1＝1－×1＋×1－×1＋…≈0.540.故选B.] 导数的运算是解决一切导数问题的基础，熟练掌握基本初等函数的求导法则，掌握函数的和、差、积、商的运算法则，复合函数求导的关键是分清层次，逐层求导，一般我们只解决有两层复合的关系，求导时不要忘了对内层函数求导即可．　　 即时练1.若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则f′(x)＝____________． 解析：f′(x)＝′＋′＝3x ln 3＋′·cos 2x＝3x ln 3＋2cos 2x. 答案：3x ln 3＋2cos 2x 即时练2.已知函数f(x)＝x sin x＋cos x，f(x)的导函数为f′(x)，则f′的值为________． 解析：因为f(x)＝x sin x＋cos x，所以f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x，因此f′＝0. 答案：0 体现二　导数的几何意义及应用 (2021·全国新高考Ⅰ卷)若过点可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　) A．eb<a B．ea<b C．0<a<eb D．0<b<ea D　[法一：在曲线y＝ex上任取一点P，对函数y＝ex求导得y′＝ex， 所以曲线y＝ex在点P处的切线方程为y－et＝et，即y＝etx＋et， 由题意可知，点在直线y＝etx＋et上，可得b＝aet＋et＝et，令f＝et，则f′＝et. 当t<a时，f′>0，此时函数f单调递增， 当t>a时，f′<0，此时函数f单调递减，所以f(t)max＝f(a)＝ea， 由题意可知，直线y＝b与曲线y＝f的图象有两个交点，则b<f(t)max＝ea， 当t<a＋1时，f>0，当t>a＋1时，f<0，作出函数f的图象如图所示： 由图可知，当0<b<ea时，直线y＝b与曲线y＝f的图象有两个交点．故选D. 法二：画出函数曲线y＝ex的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线．由此可知0<b<ea. 故选D.] 关于导数的几何意义，主要是若已知切点坐标，直接写出切线方程；若不知道切点坐标，首先设切点坐标，然后再写切线方程；要用好切点在曲线上也在切线上．　　 即时练3.已知f(x)＝sin x＋f′(0)cos x, 则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 A　[f′(x)＝cos x－f′(0)sin x，所以f′(0)＝cos 0＝1，所以f(x)＝sin x＋cos x，f′(x)＝cos x－sin x，所以f(0)＝cos 0＝1，所以，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为：y－1＝1·，即x－y＋1＝0.故选A.] 即时练4.点P是曲线f(x)＝x2＋2x－3ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－4的最短距离为________． 解析：由f′(x)＝2x＋2－＝，x>0，令＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，又由f(1)＝3，可得斜率为1且与曲线y＝f(x)相切的直线的切点为P(1，3)，则点P到直线y＝x－4的最短距离为＝3. 答案：3 素养二　逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保