第二章 培优微课5 构造函数问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

构造函数是解决不等式问题的常用方法之一，如何根据不等式的结构特点通过恒等变换构造适当的函数是解决问题的关键．主要讨论以下几种方法． 一、直接构造函数 (2022·全国甲卷) 已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. a>0>b B. a>b>0 C. b>a>0 D. b>0>a A　[由9m＝10，所以m∈(1，)，又由已知可以得到9m－9－1＝0，a＝10m－10－1，b＝8m－8－1，令f(x)＝xm－x－1(x≥8)，所以f′(x)＝mxm-1－1(x≥8)递增，且f′(x)>0，所以f(x)＝xm－x－1(x≥8)递增，所以f(10)>f(9)>f(8)，又因为f(9)＝0，所以f(10)>0>f(8)，所以a>0>b.故选A.] 变形原不等式，直接构造新函数，再运用函数的单调性比较大小或解不等式．　　 即时练1.已知a＝1012，b＝1111，c＝1210，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c D　[构造f(x)＝ln x，x≥10，f′(x)＝－ln x＋－1，因为f′(x)在上为减函数，且f′＝－ln 10＋－1＝－ln 10<－ln e2＝－2<0， 所以f′(x)＝－ln x＋－1<0在恒成立，故f(x)＝ln x在上单调递减，所以f>f>f，即12ln 10>11ln 11>10ln 12，所以1012>1111>1210，即a>b>c.故选D.] 即时练2.若对∀x1，x2∈，且x1<x2，都有<1，则m的最小值是________． 解析：因为x1<x2，则x1－x2<0，由题意可得ln x1－ln x2>x1－x2，即ln x1－x1>ln x2－x2，所以f(x)＝ln x－x在上单调递减，则f′(x)＝－1≤0在上恒成立，即x≥1在上恒成立，则m≥1，即m的最小值是1. 答案：1 二、利用f(x)与x构造 函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)>0(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝ln ·f(ln )，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c B　[令F(x)＝xf(x)，又f(x)为定义在R上的偶函数，则F＝－xf＝－xf(x)＝－F(x)，故F(x)为定义在R上的奇函数，又F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，由题可知，当x<0时，F′(x)>0，即F(x)在上单调递增，结合F(x)是R上的奇函数可知，F(x)为R上的单调增函数， 又30.3>30＝1＝logππ>logπ3>logπ1＝0＝ln 1>－ln 9＝ln ，又a＝30.3·f(30.3)，b＝logπ3·f(logπ3)，c＝ln ·f，故c<b<a.故选B.] 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有： 1．对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x). 2．对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x). 3．对于f′(x)>a，构造h(x)＝f(x)－ax. 4．对于xf′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝xf(x). 5．对于xf′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝.　　 即时练3.(2023·江苏连云港期中)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有xf′(x)<f(x)成立，则(　　) A．2f<f B．2f＝f C．2f>f D．2f与f的大小不确定 C　[设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝，由已知可知，当x>0时，xf′(x)<f(x)成立，所以g′(x)＝<0，因此函数g(x)＝在x>0时单调递减，因为4>2>0，所以g(4)<g(2)⇒<⇒f(4)<2f(2).即2f(2)>f(4).故选C.] 即时练4.已知定义在R上的偶函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0，且f(2)＝－3，则不等式f(2x－1)<的解集为____________． 解析：令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)，因为当x>0时，xf′(x)＋f(x)<0，即g′(x)<0，所以当x>0时，g(x)＝xf(x)单调递减，因为y＝f(x)是定义在R上的偶函数，即f＝f(x)，所以g＝－xf＝－xf(x)＝－g(x)，即g(x)为奇函数，所以函数g(x)＝xf(x)在R上为单调递减函数，因为f(2)＝－3，所以f(－2)＝－3，g＝－2f(－2)＝6，所以当x<时，f(2x－1)<⇔f>6，