第二章 8 数学探究活动(二)：探究函数性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§8　数学探究活动(二)：探究函数性质 探究一　三次函数的图象与性质 已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b. (1)讨论f(x)的单调性； (2)是否存在a，b，使得f(x)在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由． 解析：(1)由f(x)＝2x3－ax2＋b，得f′(x)＝6x2－3ax＝3x(2x－a). 令f′(x)＝0，即3x(2x－a)＝0，解得x＝0或x＝. 若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0. 所以f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减． 若a＝0，则f′(x)＝6x2≥0在R上恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0. 所以f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减． (2)满足题设条件的a，b存在．理由如下： 当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0，1]的最小值为f(0)＝b，最大值为f(1)＝2－a＋b. 此时a，b满足题设条件当且仅当b＝－1，2－a＋b＝1，即a＝0，b＝－1. 当≥1即a≥2时，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0，1]的最大值为f(0)＝b，最小值为f(1)＝2－a＋b. 此时a，b满足题设条件当且仅当2－a＋b＝－1，b＝1，即a＝，b＝1. 当0<<1即0<a<2时，由(1)知， f(x)在上单调递减，在上单调递增． 当x＝时，f(x)取得极小值即为f(x)的最小值， f＝2×－×a×＋b＝－＋b， f(x)的最大值为f(0)＝b或f(1)＝2－a＋b. 若－＋b＝－1，b＝1，则a＝2，与0<a<2矛盾， 若－＋b＝－1，2－a＋b＝1，则a＝2或a＝－2或a＝0，与0<a<2矛盾． 综上，当a＝0，b＝－1或a＝，b＝1时，f(x)在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1. 探究三次函数的图象与性质的方法 探究三次函数的图象与性质要本着降次的思路，充分利用导函数为二次函数的特性，从原函数与导函数的对应关系入手．另外要熟记三次函数的性质，如定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等，并能通过性质迅速画出三次函数的草图．　　 即时练1.若f(x)＝2x3－6x2＋3－a，对任意的x∈[－2，2]都有f(x)≤0，则a的取值范围为(　　) A．(－∞，3) B．(2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(0，3) C　[由f(x)＝2x3－6x2＋3－a得f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．所以f(x)max＝f(0)＝3－a，依题意可得3－a≤0，解得a≥3.故选C.] 即时练2.若函数f(x)＝x3－3x在区间(2a，a＋3)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(－2，1) C． D．(－2，－1] C　[因为函数f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得极小值，因为f(x)在区间(2a，a＋3)上有最小值，且f(1)＝f(－2)＝－2.所以－2≤2a<1<a＋3，解得－1≤a<，所以实数a的取值范围是.故选C.] 探究二　函数的图象问题 给定函数f(x)＝ex－x. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域； (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1，2]上根的个数． 解析：(1)函数f(x)的定义域为R. f′(x)＝ex－1， 令f′(x)＝0，解得x＝0. f′(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (－∞，0) 0 (0，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) 单调递减 1 单调递增 所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞). (2)由(1)可知，函数的最小值为1. 经计算得f(－1)＝＋1，f(2)＝e2－2，f(0)＝1， 当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞； 当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x.根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示． (3)截取函数f(x)在区间[－1，2]上的图象如图所示． 由图象得：当f(0)<m≤f(－1)，即m∈时，f(x)与y＝m恰有两个不同交