第一章 3.1 第2课时 等比数列的性质及实际应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

第2课时　等比数列的性质及实际应用 [学习目标]　1.掌握等比中项的概念并会应用．　2.熟悉等比数列的有关性质，并能利用性质简化运算．　3.掌握等比数列的实际应用问题． 知识点一　等比中项 我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A＝.如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量关系？ 提示：因为a，G，b成等比数列，所以＝＝q，即G＝±. 等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的等比中项． [微提醒]　(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列． (2)只有同号的两个实数才有等比中项． (3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． (1)＋1与－1的等比中项是________． (2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 解析：(1)设＋1与－1的等比中项是X， 则X2＝(＋1)(－1)，即X2＝1， 解得X＝±1. (2)证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2＝ac，且a，b，c均不为零， 又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2， (ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)， 即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项． 答案：(1)±1 等比中项应用的关注点 1．只有同号的两个实数才有等比中项，且一定有2个． 2．已知等比数列中的相邻三项an－1，an，an＋1，则an是an－1与an＋1的等比中项，即a＝an－1·an＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算量． 3．要证三个数a，G，b成等比数列，只需证明G2＝ab，其中a，b，G均不为零．　　 即时练1.若3与13的等差中项是4与m的等比中项，则m＝(　　) A．12 B．16 C．8 D．20 B　[3与13的等差中项为8，所以8是4与m的等比中项，所以82＝4m，解得m＝16.故选B.] 即时练2.若a，b，c为实数，数列－1，a，b，c，－25是等比数列，则b的值为(　　) A．5 B．－5 C．±5 D．－13 B　[设等比数列的公比为q，所以b＝(－1)·q2<0, 根据等比中项可知b2＝×＝25，解得b＝－5.故选B.] 学生用书↓第23页 知识点二　等比数列的性质 1．类比等差数列与一次函数的关系，观察等比数列的通项公式与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示：由an＝a1qn-1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n). 2．在等差数列{an}中有这样的性质：若m＋n＝p＋q，那么am＋an＝ap＋aq，用上述情境中的数列验证，在等比数列中是否有类似的性质？ 提示：在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，那么am·an＝ap·aq. 1．等比数列的函数性质 对于等比数列{an}，an＝a1qn-1，当q<0时，数列{an}是摆动数列，当q>0时，情况如下： a1 a1>0 a1<0 q的范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1 {an}的单 调性 递减 常数列 递增 递增 常数列 递减 2.等比数列的常用性质 性质1：通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋). 性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an． 性质3：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． (1)(多选)关于递增等比数列{an}，下列说法正确的是(　　) A.当a1>0时，q>1 B．当a1>0时，q<0 C.当a1<0时，0<q<1 D．<1 (2)若等比数列{an}中的a5，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 022＝(　　) A. B．1 010 C. D．1 011 (1)AC　(2)D　[(1)A.当a1>0，q>1时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{an}递增，正确；B.当a1>0，q<0时，{an}为摆动数列，故错误；C.当a1<0，0<q<1时，数列{an}为递增数列，故正确；D.an＋1－an＝a1qn-1>0，当a1>0时，q>1，此时0<<1，当a1<0时，0<q<1，>1，故错误．故选AC. (2)因为a5，a2 018是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则a5a2