第一章 3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§3　等比数列 3．1　等比数列的概念及其通项公式 第1课时　等比数列的概念与通项公式 [学习目标]　1.通过实例，理解等比数列的概念并掌握等比数列的判定方法．　2.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．　3.能解决与等比数列的通项公式有关的问题． 知识点一　等比数列的概念 1．观察下面两个数列： (1)1，－，，－，，…； (2)1，2，4，8，16，…. 上面两组数列是等差数列吗？如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？ 提示：都不是等差数列，不符合等差数列的定义；从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数． 2．类比等差数列的概念，你能得出等比数列的概念吗？ 提示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列． 等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0). [微提醒]　(1)等比数列定义的符号语言：＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋). (2)定义中“比值是同一个常数”，不能理解成“比值是一个常数”． (3)公比可以是正数，也可以是负数，但是不能为0. 以下数列中，哪些是等比数列？ (1)1，3，32，33，…，3n-1，… (2)－1，1，2，4，8，… (3)4，2，1，，，… (4)a，－a，a，－a，… 解析：(1)记数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，…，an＝3n-1，…. 因为＝＝3(n≥2，n∈N＋)，所以数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，则a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…，因为＝－1≠＝2，所以此数列不是等比数列． (3)根据等比数列的定义，是公比为的等比数列． (4)当a＝0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a，－a，a，－a，…是等比数列，且公比为－1. 等比数列定义的理解 1．由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零．　　 2．要判定一个数列是否为等比数列，只需看的值是否为不为零的同一个常数，要注意分子、分母次序不能颠倒．　　 学生用书↓第20页 即时练1.下列三个数依次成等比数列的是(　　) A．1，4，8 B．－1，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8 C　[≠，A选项错误；≠，B选项错误；因为＝＝，所以9，6，4依次成等比数列，C选项正确；≠，D选项错误．故选C.] 即时练2.已知数列{an}的通项公式为an＝3×n，则数列{an}是(　　) A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列 C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列 A　[因为a1＝1，＝＝，所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列．故选A.] 知识点二　等比数列的通项公式 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示：设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N＋且n≥2). 法一：(累乘法)an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn-1， 当n＝1时，上式也成立． 法二：(迭代法)a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…， 由此可得an＝a1qn-1，当n＝1时，上式也成立． 等比数列的通项公式 若首项是a1，公比是q，则等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0). [微提醒]　(1)用函数的观点看等比数列的通项：等比数列{an}的图象是函数y＝·qx的图象上的一群孤立的点． (2)等比数列通项公式的变形：an＝amqn－m(m，n∈N＋). (1)(2023·广东揭阳高二期末)等比数列{an}中，a1＝1，a4＝8，则数列{an}的公比为________． (2)已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式． 解析：(1)因为{an}是等比数列，设其公比为q，又a1＝1，a4＝8，故可得q3＝＝8，解得q＝2. (2)设等比数列{an}的公比为q，则q≠0， 因为a2＝＝，a4＝a3q＝2q，a2＋a4＝， 所以＋2q＝，解得q＝或q＝3. 当q＝时，a1＝18，此时an＝18×＝2×33-n； 当q＝3时，a1＝，此时an＝×3n-1＝2×3n-3. 答案：(1)2 1．等比数列通项公式的两种求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． 2．等比数列的通项公式涉及4个量a1，