第二章 4 导数的四则运算法则-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

§4 导数的四则运算法则 　 第二章 导数及其应用 学习目标 1.理解并掌握导数的四则运算法则．　 2.能利用导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数．　 课 时 精 练 知识点二　导数的乘法与除法法则 综 合 应 用 随 堂 演 练 知识点一　导数的加法与减法法则 内 容 索 引 知识点一　导数的加法与减法法则 索引 问题导思 1．试利用导数的定义求出h(x)＝x＋x2，φ(x)＝x－x2的导数． 提示：对于函数h(x)＝x＋x2， 因为Δy＝(x＋Δx)＋(x＋Δx)2－x－x2＝(Δx)2＋(2x＋1)Δx， 所以当Δx→0时，h′(x)＝1＋2x， 同理可求得φ′(x)＝1－2x. 2．若函数f(x)＝x，g(x)＝x2，那么h(x)，φ(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ 提示：h′(x)＝f′(x)＋g′(x)，φ′(x)＝f′(x)－g′(x). 新知形成 两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差)，即[f(x)＋g(x)]′＝____________，[f(x)－g(x)]′＝_____________． f′(x)＋g′(x) f′(x)－g′(x) 导数的加法与减法法则可以进行推广： 微提醒 例1 求下列函数的导数： (1)y＝x4＋x3＋cos x－ln 5； y′＝(x4＋x3＋cos x－ln 5)′＝(x4)′＋(x3)′＋(cos x)′－(ln 5)′＝4x3＋3x2－sin x. (2)y＝ln x－sin x； (3)y＝5x＋log2x－3； (4)y＝x7＋tan x； 应用加法、减法法则求导时的注意点 1．判断函数的解析式是否是由基本初等函数的和与差构成的形式，若不是，应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式． 2．熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提．　　 方法技巧 即时练1.(多选)设函数f(x)＝sin x－cos x的导函数为f′(x)，则 A．f′(x)＋f(x)＝2sin x B．f′(x)＋f(x)＝2cos x C．f′(x)－f(x)＝2sin x D．f′(x)－f(x)＝2cos x √ √ 易得f′(x)＝cos x＋sin x，所以f′(x)＋f(x)＝2sin x，f′(x)－f(x)＝2cos x．故选AD. 即时练2.函数f(x)＝ln x＋3x－1的图象在点(1，f(1))处的切线方程是 A．4x－y＋2＝0 B．x＋4y＋2＝0 C．x－4y－2＝0 D．4x－y－2＝0 √ 索引 知识点二　 导数的乘法与除法法则 索引 问题导思 新知形成 f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) kf′(x) (1)注意f(x)g(x)的导数是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之和． 微提醒 例2 求下列函数的导数： (1)y＝xnex; y′＝(xn)′ex＋xn(ex)′＝nxn-1ex＋xnex＝xn-1e(n＋x). 利用导数运算法则的策略 1．分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式． 2．如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等． 3．利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．　　 方法技巧 即时练3.求下列函数的导数： (2)y＝sin x·(cos x＋1)； y＝sin x·(cos x＋1)＝sin xcos x＋sin x， 所以y′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＋cos x＝cos 2x＋cos x. 索引 综　合　应　用 索引 例3 导数的运算法则与几何意义的综合运用 (1)当a＝1时，求f′(x)； (2)当f′(2)＝1时，求a的值； (3)f(x)在(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0平行，求a的值． 1．此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系． 2．准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． 3．分清“在某点”和“过某点”导数的不同．　　 方法技巧 1 即时练5.已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0. (1)求a，b的值； f(x)＝x3＋ax＋b的导数为f′(x)＝3x2＋a. 由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16. 由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－