第二章 培优微课6 函数的零点问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

培优微课6 函数的零点问题 　 第 二 章 第二章 导数及其应用 与函数的零点有关的问题常常涉及到函数零点的个数问题或已知函数的零点的个数求参数的问题，常利用的方法是转化为函数图象的交点的个数或方程根的情况；有时也利用到零点存在性定理解决问题． 例1 一、利用导数研究函数的零点个数 已知函数f(x)＝kex＋x2(k∈R). (2)当k<0时，判断f(x)在(－∞，0)内有几个零点，并证明． 当k<0时，f(x)在(－∞，0)内有1个零点，证明如下： 因为当x<0时，ex>0，－(2x－x2)>0， 所以当x<0时，g′(x)>0，即g(x)在(－∞，0)上单调递增， 所以g(x)∈(－∞，0)， 所以当k<0时，y＝k与y＝g(x)在(－∞，0)内有1个交点， 即当k<0时，f(x)在(－∞，0)内有1个零点． 判断零点的个数问题的思路 1．求出函数的定义域． 2．求导数f′(x)及函数f′(x)的零点． 3．用f′(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值． 4．确定f(x)的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势． 5．画出f(x)的大致图象，确定零点的个数．　　 方法技巧 (1)求f(x)的单调区间； f′(x)及f(x)随x的变化情况如表所示： 所以f(x)的单调递增区间为(0，e1-a)，单调递减区间为(e1-a，＋∞). (2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数. ①当a＝1时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，e]上单调递减， 又f(1)＝0，故f(x)在区间(0，e]上只有一个零点． ②当a<1时，1－a>0，e1-a>1， 综上，当a＝1时，f(x)在区间(0，e]上只有一个零点；当a<1时，f(x)在区间(0，e]上无零点． 因为f(x)＝－x＋x ln x，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x， 二、由函数的零点个数求参数的范围 已知函数f(x)＝－x＋x ln x． (1)求f(x)的极值； 例2 令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0， 解得0<x<1， 所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)， 所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝－1，无极大值． 利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围．　　 方法技巧 C．ln 2－1 D．2ln 2－7 √ (1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值； 当a＝－1时，f(x)，f′(x)的情况如下表： 所以当a＝－1时，函数f(x)的极小值为f(2)＝－e-2，无极大值． (2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围． ①当a<0时，F(x)，F′(x)的情况如下表： 解得a>－e2，所以此时－e2<a<0. ②当a>0时，F(x)，F′(x)的情况如下表： 综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2，0). 例3 三、关于零点的综合问题 已知函数f(x)＝x－ln x－1. (1)求f(x)的最小值； 当x∈(0，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 故x＝1是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点． 所以f(x)min＝f(1)＝1－ln 1－1＝0. (2)设F(x)＝x ln x－2x＋f(x)，若F(x)＝0有且仅有两个实根x1，x2(x1<x2)，证明：x1x2＝1. 证明：F(x)＝x ln x－2x＋f(x)＝(x－1)ln x－x－1，F(x)定义域为(0，＋∞)， 所以当x∈(0，x0)时，F′(x)<0， F(x)在(0，x0)上单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，F′(x)>0，F(x)在(x0，＋∞)上单调递增． 因为F(x)＝0有且仅有两个实根x1，x2，且x1<x2，所以x1∈(0，x0)，x2∈(x0，＋∞)， 根据导数正负与函数的单调性的关系及函数零点的存在性定理，利用已知条件结合函数极值及函数值，得出根的范围，进而得出两根的关系，结合函数的单调性即可求解．　　 方法技巧 即时练4.已知函数f(x)＝x3＋ax＋b，a，b∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故f(x)在R上单调递增； (2)若关于x的方程f(x)＝(x－2)f′(x)有3个不等实根，求f(1)＋f′(1)的取值范围．