第二章 培优微课5 构造函数问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

培优微课5 构造函数问题 　 第二章 导数及其应用 构造函数是解决不等式问题的常用方法之一，如何根据不等式的结构特点通过恒等变换构造适当的函数是解决问题的关键．主要讨论以下几种方法． 例1 一、直接构造函数 (2022·全国甲卷) 已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则 A. a>0>b B. a>b>0 C. b>a>0 D. b>0>a √ 变形原不等式，直接构造新函数，再运用函数的单调性比较大小或解不等式．　　 方法技巧 即时练1.已知a＝1012，b＝1111，c＝1210，则a，b，c的大小关系为 A．b>c>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c √ 1 例2 二、利用f(x)与x构造 A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c √ 令F(x)＝xf(x)，又f(x)为定义在R上的偶函数，则F(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－F(x)，故F(x)为定义在R上的奇函数，又F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，由题可知，当x<0时，F′(x)>0，即F(x)在(－∞，0)上单调递增，结合F(x)是R上的奇函数可知，F(x)为R上的单调增函数， 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有： 1．对于f′(x)>g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x). 2．对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x). 3．对于f′(x)>a，构造h(x)＝f(x)－ax. 4．对于xf′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝xf(x). 方法技巧 即时练3.(2023·江苏连云港期中)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有xf′(x)<f(x)成立，则 A．2f(2)<f(4) B．2f(2)＝f(4) C．2f(2)>f(4) D．2f(2)与f(4)的大小不确定 √ 例3 三、利用f(x)与ex构造 (多选)已知定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，对任意的x满足f′(x)－f(x)＝ex，则下列结论正确的是 A．ef(1)<f(2) B．e3f g(－1)<f(2) C．ef(0)<f(1) D．ef(0)<f(－1) √ √ √ f(x)与ex构造的常见形式 1．对于f′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝exf(x). 方法技巧 即时练5.定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式f(x)<ex的解集为 A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，0) D．(0，＋∞) √ 即时练6.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)－f(x)>0，则不等式e4f(3x－4)>e2xf(x)的解集为________． (2，＋∞) 四、利用f(x)与sin x，cos x构造 例4 √ √ f(x)与sin x，cos x构造的常见形式 1．对于f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，构造函数h(x)＝f(x)sin x. 3．对于f′(x)cos x－f(x)sin x>0，构造函数h(x)＝f(x)cos x． 方法技巧 A．b>a>c B．c>b>a C．c>a>b D．a>b>c √ 因为f(x)cos x<f′(x)sin x， 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 导 数 及 其 应 用 由9m＝10，所以m∈(1，)，又由已知可以得到9m－9－1＝0，a＝10m－10－1，b＝8m－8－1，令f(x)＝xm－x－1(x≥8)，所以f′(x)＝mxm-1－1(x≥8)递增，且f′(x)>0，所以f(x)＝xm－x－1(x≥8)递增，所以f(10)>f(9)>f(8)，又因为f(9)＝0，所以f(10)>0>f(8)，所以a>0>b.故选A. 构造f(x)＝(22－x)ln x，x≥10，f′(x)＝－ln x＋－1，因为f′(x)在[10，＋∞)上为减函数，且f′(10)＝－ln 10＋－1＝－ln 10<－ln e2＝－2<0， 所以f′(x)＝－ln x＋－1<0在[10，＋∞)恒成立，故f(x)＝(22－x)ln x在[10，＋∞)上单调递减，所以f(10)>f(11)>f(12)，即12ln 10>11ln 11>10ln 12，所以1012>1111>1210，即a>b>c.故选D. 即时练2.若对∀x1，x2∈(m，＋∞)，且x1<x2，都有<1，则m的最小值是________． 因为x1<x2，则x1－x2<0，由题意可得ln x1－ln x2>x1－x2，即ln x1－x1>ln x2－x2，所以f