第二章 培优微课4 导数的运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

培优微课4 导数的运算 　 第二章 导数及其应用 导数的运算主要是结合导数公式、导数的运算法则以及复合函数的导数，在熟练掌握公式的基础上灵活应用． 例1 一 、求函数的导数 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)99； y＝(x＋1)99，y′＝99(x＋1)98. (3)y＝(2x－3)sin (2x＋5)； y＝(2x－3)sin (2x＋5)， y′＝2sin (2x＋5)＋(2x－3)×2cos (2x＋5)＝2sin (2x＋5)＋(4x－6)cos (2x＋5). y＝(3x＋1)2ln (3x)， (5)y＝(3x＋1)2ln (3x). 解决复合函数求导法则与四则运算法则综合应用问题的关键点 解决复合函数求导法则与四则运算法则综合应用问题时，首先要熟记复合函数求导法则y′x＝y′u·u′x和导数的四则运算法则[f(x))±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)， g(x)≠0 ) ，其次要细心运算，避免运算失误． 方法技巧 即时练1.(多选)(2022·广东广州高二期末)下列求导运算正确的是 A．若f(x)＝sin (2x－1)，则f′(x)＝2cos (2x－1) B．若f(x)＝e-0.05x+1，则f′(x)＝e-0.05x+1 √ √ √ A．因为f(x)＝sin (2x－1)，所以f′(x)＝2cos (2x－1)，故正确； B．因为f(x)＝e-0.05x+1，所以f′(x)＝－0.05e-0.05x+1，故错误； 即时练2.(多选)已知函数f(x)＝x cos x的导函数为f′(x)，则 A．f′(x)为偶函数 B． f′(x)为奇函数 √ √ 例2 二、与导数几何意义有关的问题 已知曲线C1：y＝x3和C2：y＝ax2＋x－2(a∈R). (1)若曲线C1，C2在x＝1处的切线互相垂直，求a的值； 由y＝x3可得y′＝3x2，由y＝ax2＋x－2(a∈R)，可得y′＝2ax＋1， 因为曲线C1，C2在x＝1处的切线互相垂直， 所以k1·k2＝(3×12)×(2a＋1)＝－1， (2)若与曲线C1，C2在x＝x0处都相切的直线的斜率大于3，求a的取值范围． 所以h(x)>h(1)＝2或h(x)<h(－1)＝－2， 即2a>2或2a<－2，解得a>1或a<－1. 涉及切线问题，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．　　 方法技巧 当b＝1时，f(x)＝ex－1， (1)当b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程； 当x＝1时，切点为(1，e－1)， 因为f′(x)＝ex，切线斜率为f(1)＝e， 所以切线方程为y－(e－1)＝e(x－1)， 即y＝ex－1. 设曲线y＝f(x)在点A(x1，ex1－b)处的切线斜率为1，则ex1＝1， 所以x1＝0，则A(0，1－b)， 例3 三、导数运算的综合应用 (2023·广东深圳高二期中)已知函数f(x)＝ex(sin x＋cos x＋kx)，k∈R，g(x)＝f′(x)，h(x)＝g′(x). (1)已知f(0)＝h(0)，求k的值； 因为g(x)＝f′(x)＝ex(2cos x＋kx＋k)， h(x)＝g′(x)＝ex(2cos x－2sin x＋kx＋2k)， 存在．若对任意x∈R，h(x)－2g(x)＋2f(x)＝0恒成立，即ex x(2cos x－2sin x＋kx＋2k)－2ex(2cos x＋kx＋k)＋2ex(sin x＋cos x＋kx)＝0， (2)是否存在k，使得对任意x∈R，恒有h(x)－2g(x)＋2f(x)＝0成立？说明理由． 化简可得，kx＝0，所以k＝0时，可使得对任意x∈R，恒有h(x)－2g(x)＋2f(x)＝0成立． 此类问题主要是结合导数的运算法则以及复合函数的求导法则，然后再利用函数的性质，从而问题得到解决．　 方法技巧 即时练4.(多选)我们把形如f(x，y，y′)＝0的方程称为微分方程，符合方程的函数y＝f(x)称为微分方程的解，下列函数为微分方程xy＋y－xy′＝0的解的是 A．y＝ex B．y＝xex C．y＝xex＋1 D．y＝c·x·ex(c∈R) √ √ 根据导数的运算求得导函数y′，代入微分方程检验即可． 选项A，y＝ex，则y′＝ex，xy＋y－xy′＝xex＋ex－xex＝ex≠0，不是方程的解； 选 项 B，y＝xex，y′＝ex＋xex，xy＋y－xy′＝x2ex＋xex－xex－x2ex＝0，