第一章 5 数学归纳法-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修2同步课堂高效讲义配套课件（北师大版）

*§5　数学归纳法 　 第一章 数列 学习目标 1.了解数学归纳法的原理．　 2 .能用数学归纳法证明一些简单命题． 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 知识点　数学归纳法 内 容 索 引 知识点　数学归纳法 索引 问题导思 我们从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ 提示：需要具备的条件：(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题． 新知形成 数学归纳法是用来证明某些与_________有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)证明：当n取________值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当___________时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． 正整数n 第一个 n＝k＋1 (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 微提醒 例1 角度一　利用数学归纳法证明等式成立 (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立， 那么当n＝k＋1时， 所以当n＝k＋1时等式也成立．综合(1)(2)知对一切n∈N＋，等式都成立． 用数学归纳法证明等式成立的方法 方法技巧 左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即有 则当n＝k＋1时， 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N＋等式都成立． 例2 角度二　利用数学归纳法证明不等式成立 则当n＝k＋1时， 只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0， 只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0， 只需证9k＋5≥0，显然成立． 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立． 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 方法技巧 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立， 索引 所以当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N＋都成立． 综　合　应　用 索引 例3 归纳—猜想—证明 (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并证明． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时猜想成立， Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， 所以当n＝k＋1时，命题成立． 由①②可知，命题对任何n∈N＋都成立． “归纳—猜想—证明”的解题步骤 方法技巧 即时练3.请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：①Sn－1＋an＝n2(n∈N，n≥2)；②an＋1＝nan－2n2＋3n＋1(n∈N，n≥1) 已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1＝1，________． (1)求a2，a3，a4； 选择条件①，因为Sn－1＋an＝n2(n∈N，n≥2)， 所以当n＝2 时，S1＋a2＝4，即a2＝3， 当n＝3 时，S2＋a3＝9，所以a1＋a2＋a3＝9，即a3＝5， 当n＝4 时，S3＋a4＝16，即a4＝7， 故a2，a3，a4分别为3，5，7. 选择条件②，an＋1＝nan－2n2＋3n＋1(n∈N，n≥1)， 所以当n＝1 时，a2＝a1－2×12＋3×1＋1＝3, 当n＝2 时，a3＝2a2－2×22＋3×2＋1＝5， 当n＝3 时，a4＝3a3－2×32＋3×3＋1＝7， 故a2，a3，a4分别为3，5，7. (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明． 猜想an＝2n－1，理由如下： 选择条件①，因为Sn－1＋an＝n2(n∈N，n≥2)， n＝1时，由题知，a1＝1，猜想成立， 假设n＝k(k∈N，k≥2)时，ak＝2k－1， 则Sk－1＋ak＝k2，所以Sk＋ak＋1＝(k＋1)2， 两式相减得：Sk＋ak＋1－Sk－1－ak＝(k＋1)2－k2， 即ak＋1＝2k＋1＝2(k＋1)－1， 所以当n＝k＋1时，an＝2n－1成立， 综上所述，对任意n∈N＋，有an＝2n－1. 索引 选择条件②，an＋1＝nan－2n2＋3n＋