专题1.1 锐角的三角函数【十大题型】-2023-2024学年九年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.1 锐角的三角函数【十大题型】 【北师大版】 【题型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】 2 【题型2 根据定义直接求角的正弦、余弦、正切值】 2 【题型3 根据正弦、余弦、正切的定义求边长】 3 【题型4 特殊角的三角函数值的混合运算】 4 【题型5 构造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】 5 【题型6 根据特殊角的三角函数值求角的度数】 6 【题型7 已知角度比较三角函数值的大小】 6 【题型8 根据三角函数值判断锐角的取值范围】 7 【题型9 利用同角三角函数关系求值】 7 【题型10 三角函数的综合运用】 8 【知识点 锐角三角函数】 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，则的三角函数如下表： 定 义 表达式 取值范围 关 系 正弦 (∠A为锐角) 余弦 (∠A为锐角) 正切 (∠A为锐角) 2. 特殊角的三角函数值 三角函数 30° 45° 60° 1 【题型1 正弦、余弦、正切的概念辨析】 【例1】（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）已知中，为的对边，为的对边，若与已知，则下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋·安徽合肥·九年级统考期末）在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（    ） A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不变 D．无法确定 【变式1-3】（2023秋·吉林长春·九年级校考期中）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，垂直地面，垂足为点D，，垂足为点C．设，下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据定义直接求角的正弦、余弦、正切值】 【例2】（2023秋·重庆万州·九年级统考期末）直角三角形纸片，两直角边，，现将纸片按如图那样折叠，使A与电B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【变式2-1】（2023·内蒙古·二模）如图，在中，，按如下步骤作图：①以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，②分别以点B，E为圆心，以大于号的长为半径在右侧作弧，两弧交于点G，③射线交于点F．若，则的值为(   )    A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）已知正方形中，，点E为直线上一点，，连接．则的值为 ． 【变式2-3】（2023·福建龙岩·九年级统考自主招生）如图，在中，点F为其重心，连接、并延长分别交、于点D、E，且，，则 ． 【题型3 根据正弦、余弦、正切的定义求边长】 【例3】（2023·山西忻州·统考模拟预测）如图，四边形是边长为8的正方形，是边延长线上的一点，．点在该正方形的边上运动，当时，设直线与直线相交于点，则的长为 ．    【变式3-1】（2023秋·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）如图，在中，，点G为的重心，若，，那么的长等于 ．    【变式3-2】（2023春·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在平行四边形中，平分，已知，，．    (1)求证：； (2)求． 【变式3-3】（2023·甘肃兰州·统考一模）如图，在中，，是的中点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形： (2)若，，求的长． 【题型4 特殊角的三角函数值的混合运算】 【例4】（2023·四川遂宁·射洪中学校考一模）计算：． 【变式4-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）先化简，再求代数式的值，其中． 【变式4-2】（2023春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）先化简，再求代数式的值，其中；． 【题型5 构造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值】 【例5】（2023秋·九年级课时练习）如图，在中，于点，将 沿直线折叠，点在边上的点处，已知，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·内蒙古包头·二模）如图，在矩形中，是对角线，，垂足为，连接．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（2023春·湖南永州·九年级校考开学考试）如图，在的方格中，两条线段的夹角（锐角）为，则 ．    【变式5-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级