第1章 空间向量与立体几何-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第一章　空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 ► 对应学生用书P1 课程标准 核心素养 1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． 2．经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程． 3．掌握空间向量的线性运算． 4．掌握空间向量的数量积． 5．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 1．数学抽象：(1)了解空间向量的概念，掌握线性运算的技巧． (2)理解向量共线、共面的概念． (3)掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律． 2．逻辑推理：(1)会判定与证明向量共线、共面． (2)能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题． 3．数学运算：掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及运算律． 1.1.1 空间向量及其线性运算 　高效导学第一步——梳理教材，必备基础知识 一、空间向量的有关概念 1．空间向量的概念及表示 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示． ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 2．特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 3.共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量． 规定：对于任意向量a，都有0∥a． 二、空间向量的线性运算 1．线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 2.运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 三、共线向量与共面向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． 2．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 3．共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4．向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． 　高效导学第二步——典例探究，提升关键能力 突破点一　空间向量的概念辨析 [例1](2023·北京顺义区高二期中)下列关于空间向量的说法，正确的个数为(　　) ①若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行； ②若|a|＝|b|，则a＝b； ③若向量a，b都是单位向量，且a，b共线，则a＝b； ④若a＋b＝0，b＋c＝0，则a＝c； ⑤若＝，则A与C重合，B与D重合． A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A．对于①，向量a，b平行，a，b所在的直线平行或重合，故①错误；对于②，|a|＝|b|，只能说明两向量的模相等，但方向不一定相同，所以不能得到两向量相等，故②错误；对于③，可得|a|＝|b|，a，b的方向相同或相反，故③错误；对于⑤，空间中两个向量相等，只需方向相同和模相等，与起点位置无关，故⑤错误．只有④正确． 【总结】　对空间向量有关概念的理解 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点： ①零向量不是没有方向，它的方向是任意的． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. ③两个向量的模相等，不一定是相等向量．反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，而且方向相同． 【跟踪训练】 1.(多选)以下关于向量的说法正确的有(　　) A．若a＝b，则＝ B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C．若a＝－b且b＝－c，则a＝c D．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 解析：选AC．若a＝b，则a和b的大小相等，方向相同，故A正确； 将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球面，故B错误； 若a＝－b，b＝－c，则a＝－＝c，故C正确； 若a与b共线，b与c共线，则当b＝0时，无法判断a与c是否共线，故D错误． 突破点二　空间向量的线性运算 [例2]如