第一章 空间向量与立体几何-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其运算 [课标解读]1.空间向量的概念.2.空间向量的加减运算.3.空间向量的数乘运算.4.空间向量的数量积运算． 第1课时　空间向量及其线性运算 知识点一　空间向量的概念 1．空间向量：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量(简称为向量)． 2．单位向量：模为1的向量称为单位向量． 3．零向量：规定长度为0(即始点和终点相同)的向量叫做零向量，记为0． 4．相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． 5．平行向量：方向相同或相反的两个非零向量叫做平行向量(即两个向量共线)． 6．向量共面：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一个平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面． 知识点二　空间向量的加减法运算 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点三　空间向量的线性运算 1．定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2．向量a与λa的关系： λ的范围 方向关系 模的关系 λ>0 方向相同 a的模是a的模的|λ|倍 λ＝0 a＝0其方向是任意的 λ<0 方向相反 3.空间向量的数乘运算律： (1)分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb． (2)结合律：λ(μa)＝(λμ)a． (1)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无意义． (2)任何实数与向量的积仍是一个向量．空间向量的数乘运算可以把向量的模扩大(当|λ|>1时，)也可以缩小(当|λ|<1时)；可以不改变向量的方向(当λ>0时)，也可以改变向量的方向(当λ<0时)． (3)注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若a＝0，则λa＝0. (4)①根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然成立． ②由于向量a，b可平移到同一个平面内，故a＋b，λa，λb，λ(a＋b)也都在这个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律．　　 1．(多选)下列命题中为真命题的是(　　) A．向量与的长度相等 B．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 AD　[对于选项B，其终点构成一个球面，所以B为假命题；对于选项C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C为假命题；易知A，D为真命题．故选AD．] 2．如图所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有(　　) A．1个　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 D　[共四条：AB，A1B1，CD，C1D1.] 3．在三棱锥A­BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为 ． 解析：　延长DE交边BC于点F，则有＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0. 答案：　0 4．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是 ．(填“平行”、“相等”或“相反”) 解析：　设G是AC的中点，则＝＋＝＋＝(＋) 所以2＝＋， 从而∥(＋)． 答案：　平行 题型一　空间向量的有关概念 判断下列命题的真假． (1)空间向量就是空间中的一条有向线段． (2)不相等的两个空间向量的模必不相等． (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同． (4)向量与向量的长度相等且方向相反． [思路点拨]　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他有关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以扩展为空间向量的相应概念． 解析：　(1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．(4)真命题，与仅是方向相反，它们的长度是相等的． (1)熟练掌握好空间向量的概念，零向量，单位向量，相等向量，相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；只要两个向量的方向相同、模相等，这两个向量就相等，起点和终点未必对应相同，即起点和终点对应相同是两个向量相等的充分不必要条件． (2)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约．　　 即时练1.(1)给出下列命