精品解析：四川省眉山市青神中学校2023-2024学年高二上学期10月期中考试数学试题

高中2025届2023—2024学年质量测试 数学试卷 （本试卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的考号、班级、姓名填写在答题卡密封线内，严禁在密封线外标记、书写体现个人身份的信息. 2、超出答题卡区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3、考试结束后，将答题卡收回. 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点B，则点B的坐标是（    ） A. B. C. D. 2. 从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. 至少有一本政治与都是数学 B. 至少有一本政治与都是政治 C. 至少有一本政治与至少有一本数学 D. 恰有1本政治与恰有2本政治 3. 已知，，且，则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 过点且垂直于的直线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子被断开分别为事件，，，，.盒子中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列结论正确的是（ ） A. ，两个盒子串联后畅通的概率为 B. ，两个盒子并联后畅通的概率为 C. ，，三个盒子混联后畅通的概率为 D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为 6. 已知点，，从点射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（ ） A. B. C. D. 7. 直线l：与连接，的线段相交，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知空间中三点、、，则下列结论正确的有（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角余弦值是 D. 平面的一个法向量是 10. 若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 11. 已知点，直线，则下列说法中正确的有（ ） A. 直线恒过点 B. 若直线与线段有交点，则 C. 点到直线的距离的最大值为 D. 若为直线上一点，则的最小值为 12. 在信道内传输0，1信号，信号传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1概率为 C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D. 当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 三、填空题 13. 已知事件A，B，C两两互斥，且，，，则______． 14. 点关于直线：的对称点的坐标为______. 15. 已知，若向量共面，则_________． 16. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为______． 四、解答题 17. 已知直线，直线． （1）若，求实数a的值． （2）判断与是否可能垂直，若可能垂直，求实数a的值；若不可能垂直，请说明理由． 18. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ （Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 19. 如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱的长为b，且. 求：（1）的长； （2）直线与AC所成角的余弦值. 20. 设直线l的方程为 （1）求证：不论a何值，直线必过定点M； （2）若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．