专题04 幂函数，指数函数与对数函数（讲）-【中职专用】中职高考数学二轮复习专项突破（四川适用）

专题04 幂函数， 指数函数与对数函数（讲） 考点过关 1．根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号 － 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ＝0． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1.这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 3．指数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数 图 象 a＞1 0＜a＜1 定义域 R　 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 在R上是增函数 在R上是减函数 4．幂函数 （1）定义：一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）几个常用的幂函数的图象与性质 定义 幂函数y＝xα(α∈R) 图象 α＞0 α＜0 性 质 (1)图象过点(0，0)和(1，1) 图象过点(1，1) (2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是减函数 (3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸当0＜α＜1时，图象上凸 在第一象限内，图象都下凸 5．对数 (1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)两类重要的对数 ①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lgN； ②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作lnN． 注：(i)无理数e＝2.718 28…；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1＝0，logaa＝1. (3)对数与指数之间的关系 当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝logaN. (4)对数运算的性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM；一般地，＝ logaM； (5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝. 6．对数函数的图象及性质 定义 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0) 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 例题讲解 例1．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的定义可判断各选项. 【详解】由幂函数的定义,形如，叫幂函数， 对A，，故A正确；B，C，D均不符合. 故选：A． 例2．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为在R上增函数，所以，即， 又在R上减函数，所以，即， 所以. 故选：B. 例3．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A．-27 B．27 C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，即可得解. 【详解】设，由题意得， 所以. 故选：D. 例4．将化成分数指数幂的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的意义及运算化简即可. 【详解】. 故选：A 例5．在对数式中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的概念，底数大于且不等于，真数大于0，列不等式组即可求解． 【详解】要使对数式有意义，需满足， 解得或， 所以实数的取值范围是． 故选:D. 例6．如果函数 的图象经过点 ，那么实数 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析