9.5 双曲线（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

9.5 双曲线 知识点一 双曲线的定义与标准方程 1.双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹． （2）定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}． （3）焦点：两个定点F1，F2. （4）焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 2.双曲线标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 知识点二 双曲线的性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 考点1 双曲线的定义 【例1】设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．8 【解后感悟】双曲线的定义的应用 已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． 【变式1-1】已知，，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．一条射线 D．双曲线右支 【变式1-2】若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（　　） A．2 B．4 C．8 D．12 【变式1-3】双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，则 . 考点2 双曲线的方程 【例2】（1）等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为（    ） A． B． C． D． （2）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 ． 【解后感悟】求双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解． (2)当mn<0时，方程＋＝1表示双曲线． 【变式2-1】若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【变式2-2】已知点，曲线上的动点到的距离之差为6，则曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 考点3 由双曲线方程研究其几何性质 【例3】方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【解后感悟】由双曲线的方程研究几何性质 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．　 【变式3-1】椭圆与双曲线有相同的焦点，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式3-2】若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】在平面直角坐标系xOy中，方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为 ． 考点4 由双曲线的几何性质求标准方程 【例4】（1）已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． （2）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为C上一点，离心率，则双曲线的标准方程为 ． 【解后感悟】由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧 渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． 【变式4-1】以椭圆的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知双曲线的一个焦点为，双曲线的渐近线，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】双曲线的离心率为，且过，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 考点5 双曲线的离心率 【例5】设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【解后感悟】求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解．