专题24.35 圆锥的侧面积（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题24.35 圆锥的侧面积（知识梳理与考点分类讲解） 【要点一】母线的概念 　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 【要点二】圆锥的侧面积 　　圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 　　 【要点三】圆锥的全面积 . 要点提醒： 　　扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的. 【考点一】求圆锥的侧面积 【例1】如图，圆锥的顶点为P，AB是底面的一条直径，，底面半径为2，求这个圆锥的侧面积．（结果保留根号与） 【答案】 【分析】先证是等腰直角三角形，求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可． 解：由题意知，， ， ， ， 圆锥的母线长， 这个圆锥的侧面积． 【点拨】本题主要考查计算圆锥的侧面积，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．，其中C为圆锥的底面周长，l为圆锥的母线长． 【举一返三】 【变式1】若圆锥的高为，母线长为，则圆锥的全面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出底面圆的半径，然后根据圆锥的全面积为底面积与侧面积的和列式计算即可． 解：∵圆锥的高为，母线长为， ∴底面圆的半径为， ∴底面圆的面积为，圆锥的侧面积为， ∴圆锥的全面积为， 故选：C． 【点拨】此题主要考查圆锥的计算，解题关键在于掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【变式2】若圆雉的侧面积为，底面圆半径为3，则该圆雉的母线长是 ． 【答案】4 【分析】根据圆锥的侧面积，列出方程求解即可． 解：∵圆锥的侧面积为，底面半径为3， ． 解得：， 故答案为：4． 【点拨】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解． 【考点二】求圆锥的高和底面半径 【例2】如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为9cm． （1）求扇形AOB的弧长和扇形面积； （2）若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据弧长公式和扇形面积公式求解即可； （2）先求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求解即可． （1）解：由题意得扇形AOB的弧长，； （2）解：如图所示，AH为底面圆的半径，OA为母线长， 由题意可得，， ∴． 【点拨】本题主要考查了求扇形面积，求弧长，求圆锥的高，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握弧长公式和扇形面积公式． 【举一返三】 【变式1】用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可． 解：扇形的弧长：， 则圆锥的底面直径：． 故选：C． 【点拨】本题考查圆锥侧面积公式，熟记公式的灵活应用是解题的关键． 【变式2】已知圆锥的底面圆的半径为，侧面积为，则这个圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】由题意易得圆锥的母线长为，然后根据勾股定理可进行求解． 解：由题意得：圆锥的母线长为， ∴圆锥的高为； 故答案为． 【点拨】本题主要考查圆锥的侧面积及高的求法，熟练掌握圆锥的侧面积及高的求法是解题的关键． 【考点三】求圆锥侧面展开图的圆心角 【例3】图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径，母线长． （1）求这种加工材料的顶角的大小． （2）求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，根据圆锥侧面展开图的扇形面积公式，即可求解； （2）分别求得和扇形的面积，进而即可求解． （1）解：设，依题意， ∴， ∴； （2）解：设加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积为， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴, ∴ 【点拨】本题考查了圆锥侧面积公式，扇形面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键． 【举一返三】 【变式1】圆锥的底面半径为，母线长，则它的侧面展开图的圆心角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆锥的底面半径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用已知的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可. 解：圆锥的底面半径为 圆锥的侧面展开扇形的弧长为 母线长 圆锥的侧面展开扇形的面积为 解得， 侧面展开图的圆心角度数为 故答案选