二项式定理知识梳理与题型归纳-2022-2023学年高二下学期数学苏教版（2019）选择性必修第二册

高中数学二项式定理知识梳理与题型归纳 知识点梳理 一、定理内容 二、基本概念 ①二项式展开式 等式右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式. ②二项式系数 展开式中各项的系数中的. ③项数 展开式第r+1项，是关于a，b的齐次多项式. ④通项 展开式的第r+1项，记作. 三、几个提醒 ①项数 展开式共有n+1项. ②顺序 注意正确选择a与b，其顺序不能更改，即：(a+b)n和(b+a)n是不同的. ③指数 a的指数从n到0, 降幂排列；b的指数从0到n,升幂排列；各项中a，b的指数之和始终为n. ④系数 正确区分二项式系数与项的系数；二项式系数指各项前面的组合数；项的系数指各项中除去变量的部分（含二项式系数）. ⑤通项 通项是指展开式的第r+1项. 四、常用结论 令a=1，b=x，有： 令a=1，b=-x，有： 由此可得贝努力不等式.当x>-1时，有： n≥1时，(1+x)n≥1+nx; 0≤n≤1时，(1+x)n≤1+nx. （贝努力不等式常用于函数不等式证明中的放缩） 五、几个性质 ①二项式系数对称性 展开式中，与首末两项等距的任意两项二项式系数相等. ②二项式系数最大值 展开式的二项式系数中，最中间那一项（或最中间两项）的二项式系数最大.即：n为偶数时，最大二项式系数为；n为奇数时，最大二项式系数为，. ③二项式系数和 二项展开式中，所有二项式系数和等于2n，即： . 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即： . （注：凡系数和问题均用赋值法处理） ④杨辉三角中的二项式系数 题型归纳 一、求二项展开式 【例1】求的展开式. 方法一： 方法二： 二、求展开式的指定项 在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项. 【例2】求展开式的常数项. 解：由得： 因此6-2r=0，则r=3，故常数项为. 说明：凡二项展开式中指定项的问题，均直接使用通项公式处理. 【例3】在二项式的展开式中倒数第3项的系数为45，求x3的项的系数. 解：由条件知，即，n2-n-90=0解得n=-9（舍去）或n=10. 由，由题意，解得r=6. 则含有x3的项是第7项，系数为210. 说明：对于位置指定的展开项问题，要注意用原式，底数中项的顺序不得随意调整. 【例4】求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2的系数. 解：由(x-1)n得通项. 则所求项的系数为. 【例5】求的展开式中x6项的系数. 解：的通项为，(2x-1)5的通项为. 则展开式的通项为. 由，得r+2s=4，解得，或. 故x6的系数为. 说明：积的展开式问题，一般分别计算两个因式的通项. 学科网（北京）股份有限公司 $$