第八章 8．2．1　几个函数模型的比较-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（苏教版）

8．2　函数与数学模型 ► 对应学生用书P173 8．2.1　几个函数模型的比较 [课程标准]　1.对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性．　2.了解函数模型的广泛应用． 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 三种常见函数模型的增长差异 y＝kx(k>0) y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) 在(0，＋∞) 上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变 化趋势 一条直线 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 增长速度 (1)y＝ax(a>1)随着x的增大，y增长速度越来越快 ，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度 (2)y＝logax(a>1)随着x的增大，y增长速度越来越慢 ，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 记一记：1.我们知道当底数大于1时，对数函数的增长速度越来越慢，当底数小于1时，对数函数的递减速度越来越慢． 2．当a>1，n>0时，由y＝ax，y＝xn，y＝logax的增长速度，存在x0，当x>x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数．因此总会存在一个x0，使得当x>x0时，有ax>xn>logax. 【基点小试】 1．已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是(　　) A．随着x的逐渐增大，y1增长速度越来越快于y2 B．随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1 C.当x∈时，y1增长速度一直快于y3 D．当x∈时，y2增长速度有时快于y1 解析：选D.如图，对于y1＝x2，y2＝2x，从负无穷开始，y1大于y2，然后y2大于y1，再然后y1再次大于y2，最后y2大于y1，y1再也追不上y2，故随着x的逐渐增大，y2增长速度并不是越来越快于y1，A、B错误，D正确； y1＝x2，y3＝x由于y3＝x的增长速度是不变的，当x∈时，y3大于y1，当x∈时，y1大于y3，y3再也追不上y1，y1增长速度有时快于y3，C错误．故选D. 2．下面对函数f＝logx，g＝与h＝－在区间上的递减情况说法正确的是(　　) A．f递减速度越来越慢，g递减速度越来越快，h递减速度比较平稳 B．f递减速度越来越快，g递减速度越来越慢，h递减速度越来越快 C.f递减速度越来越慢，g递减速度越来越慢，h递减速度比较平稳 D．f递减速度越来越快，g递减速度越来越快，h递减速度越来越快 解析：选C.观察函数f＝logx、g＝、h＝－在区间上的图象如下图所示： 函数f的图象在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢； 函数f在区间上，递减较慢，且越来越慢． 同样，函数g的图象在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢． 函数h的图象递减速度比较平稳．故选C. 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　几类函数模型增长差异的比较 例1.四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是：①f1(x)＝x2，②f2(x)＝4x，③f3(x)＝log2x，④f4(x)＝2x.如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是____．(只填序号) 解析：由函数的性质可知，指数函数的增长速度是先慢后快，最终跑在最前面的是指数函数，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系是④. 答案：④ [总结] 　常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型 幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． 【练一练】 1．下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是______． ①y＝10×1.05x；②y＝20＋x2；③y＝30＋lg (x＋1)；④y＝50. 解析：结合三类函数的增长差异可知指数增长性最快， 所以①的预期收益最大． 答案：① 题型二　几类函数模型的比较的应用 例2.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减． (1)下列几个模拟函数：①y＝ax2＋b