统计案例—回归分析讲义-2024届高考一轮复习

课题：统计案例—回归分析 知识点： 1．统计图表 （1）常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等． （2）作频率分布直方图的步骤 ①求极差；②决定组距与组数；③将数据分组；④列频率分布表；⑤画频率分布直方图． 2．样本数字特征 （1）平均数：＝ （x1＋x2＋…＋xn）． （2）中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）． （3）众数：一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）． （4）方差和标准差 ①方差：s2＝ （xi－）2或－2． ②标准差：s＝． 3．相关关系的强弱 （1）样本相关系数：现实生活中的数据，由于度量对象和单位的不同等，数值会有大有小，为了去除这些因素的影响，统计学里用 来衡量与的线性相关性强弱，我们称为变量和变量的样本相关系数． （2）相关系数的性质：①当时，称成对样本数据正相关；当时，成对样本数据负相关；当时，成对样本数据间没有线性相关关系． ②样本相关系数的取值范围为；当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱． 4．一元线性回归模型参数的最小二乘法：回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征；我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做，的最小二乘估计，其中称为回归系数，它实际上也就是经验回归直线的斜率，为截距． 其中 5．残差：对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差． 6．决定系数：（1）残差平方和残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差． （2）决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力．，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差． 典型例题 例1“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从2017年开始每年向敬老院捐赠物资和现金．下表记录了第年（2017年是第一年）与捐赠的现金（万元）的对应数据，由此表中的数据得到了关于的线性回归方程，则预测2023年捐赠的现金大约是 A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 例2（多选）已知与线性相关，且求得回归方程为，变量，的部分取值如表所示，则（       ） A．与负相关 B． C．时，的预测值为 D．处的残差为 例3人类已进入大数据时代，目前，全球年数据产生量已经从级别跃升到，乃至级别（，，，）．由国际数据公司的研究结果得到2011年至2023年全球年数据产生量（单位：）的散点图．根据散点图，下面四个选项中最适宜刻画2011年至2023年全球年数据产生量和实际的函数模型是（       ） A． B． C． D． 例4网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2022年12月，我国网络购物用户规模达8．42亿，较2021年12月增长5968万，占网民整体的81．6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与时间第年进行了统计得如下数据： 1 2 3 4 5 2．6 3．1 4．5 6．8 8．0 （1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） （2）试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当时的利润额． 附：， ，． 参考数据：，，，． 例5小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x（单位：）和日均客流量y（单位：百人）的数据，并计算得，，，． （1）求y关于x的回归直线方程； （2）已知服装店每天的经济效益，该商场现有的商铺出租，根据（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺? 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，． 例6为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格： 年份编号x 1 2 3 4 5 年份 2018 2019 2020 2021 2022 新能源汽车充电站数量y/个 37 104 147 186 226 （1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明； （2）求y关于x的线性回归方