专题01 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型-2023-2024学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题01 圆中的重要模型之圆中的全等三角形模型 知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。 圆中常见全等模型：切线长模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型。 模型1、切线长模型 1）切线长模型（标准类） 条件：P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。 结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB； 2）切线长模型（拓展类） 条件：AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。 结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°； 例1．（2023秋·河北邯郸·九年级统考期末）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使、、在一条直线上，且，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，则点在量角器上所对应的锐角度数是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·山东潍坊·统考二模）如图，内切于四边形，，分别连接．下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D．A，O，C三点共线 例3．（2022·河南南阳·统考二模）阅读下列材料，完成相应任务： 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，它的完美来自对称，其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦．此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦． (1)任务一：为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图1，P是外一点，__________________________________________． 求证：__________________________________________． 证明： (2)任务二：如图2，在任务一的条件下，CD是的直径，连接AD、BC，若，，，求OP的长． 模型2. 燕尾模型 条件：OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2023秋·福建龙岩·九年级统考期末）阅读下列材料，并回答问题． [材料]自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的龙老师增加了一个习惯，就是在每个新章节备课时都会查阅新课标，了解该章知识的新旧课标的变化，并在上课时告诉学生．他通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在学习完《切线的性质与判定》后，龙老师布置了一道课外思考题：“已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点”．班上小岩同学所在的学习小组经过探索，给出了如下的一种作图方法：（1）连接，以为圆心，长为半径作大圆；（2）若交小圆于点，过点作小圆的切线与大圆交于两点（点在点的上方）；（3）连接交小圆于，连接，则是小圆的切线． [问题](1)请问小岩同学所在的学习小组提供的作图方法是否正确？请你按照步骤完成作图（尺规作图，保留作图痕迹），并说明理由．(2)延长交大圆于，连接，若，，求的长． 例3．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC． (1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长． 模型3. 蝴蝶模型 条件：OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。 结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 例1．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点． (1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______． (2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证． 例2．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，和分别是⊙上的两条弦，圆心到它们的距离分别是和．如果，求证：． 例3．（2022·河南南阳·统考一模）学习过“圆内接四边形”后，刘老师布置了课后阅读“认识托勒密”，小明读了托勒密的生平、贡献，对“托勒密定理”很感兴趣，并进行了下列的研究，请完成他的研究．托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 已知：如图1，______． 求证：______． 证明：如图2，作，交BD于点E，…… ∴∽， ∴，…… ∴∽， ∴， ∴． (1)请帮小明写出已知和求证，并完成证明过程； (2)如图3，已知正五边形ABCDE