7.2 平面向量的基本定理及坐标表示（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用）

7.2 平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 ．我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．向量的夹角 (1)已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)． (2)向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．a与b同向时，夹角θ＝ 0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. (3)如果向量a与b的夹角是90°，我们就说a与b垂直，记作a⊥b． 3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解． (2)在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.则实数对(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a相等的向量的坐标也为(x，y)．显然，i＝(1，0)， j＝(0，1)，0＝(0，0). 4．平面向量的坐标运算 (1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2). (2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1). (3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). (4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0． 一、 平面向量基本定理及应用 【典例1】已知是平面内的一组基底，则下列向量中不能作为一组基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【典例2】已知是平面内所有向量的一组基，且，若，则________． 【典例3】已知向量不共线，且平面向量，，若，则______. 【典例4】已知在矩形中，，线段交于点，则（    ） A． B． C． D． 【典例5】如图所示，已知在中，是的中点，是将分成的一个内分点，和交于点，设，. （1）用和表示向量，； （2）若，求实数的值. 1、设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2、已知是不共线的向量，若，则用与表示为___________. 3、已知向量是一个基底，实数满足，则_________． 4、在中，为边的延长线上一点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 5、在平行四边形中，点分别在边上，且，，记，，则（    ） A． B． C． D． 二 、向量的坐标表示 【典例1】已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】若，，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】向量，，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例4】已知向量，，若与共线，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【典例5】已知，，，若，则锐角等于（    ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【典例6】若，，且是线段靠近的一个三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1、已知，则（    ） A． B． C． D． 2、已知点，向量，则向量（    ） A． B． C． D． 3、已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 4、已知点，，若向量与共线，则实数（    ） A． B． C． D． 5、已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 6、已知，，且，点在线段的延长线上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2 平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2 ．我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．向量的夹角 (1)已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)． (2)向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°．a与b同向时，夹角θ＝ 0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. (3)如果向量a与b的夹角是90°，我们就说a与b垂直，记作a⊥b． 3．平面向量的正交分解及坐标表