7.1 平面向量的概念及线性运算（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用）

7.1 平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模). 向量表示方法：向量或；模或. (2)零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作. (3)单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示，特别的：非零向量的单位向量是. (4)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为； 特别的：与任一向量平行或共线. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作. 2．向量的线性运算 (1)向量的加法 ①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. ②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. ③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. (2)向量的减法 ①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. ②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. (3)向量的数乘 向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. (4)共线向量定理 ①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. ②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 一、 向量的有关概念 【典例1】下列说法正确的是（ ） A．向量与共线，与共线，则与也共线 B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C．向量与不共线，则与都是非零向量 D．有相同起点的两个非零向量不平行 【典例2】“向量”是 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【典例3】下列命题中，正确的是（ ） A．若∥，则与方向相同或相反 B．若∥，∥，则∥ C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等 D．若，，则 【典例4】下列命题正确的是( ) A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线 B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线 C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 【典例5】有下列命题：①若向量与同向，且，则；②若四边形是平行四边形，则；③若，，则；④零向量都相等.其中假命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例6】已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出： （1）与相等的向量；（2）与长度相等的向量；（3）与共线的向量. 1、下列说法错误的是（ ） A．长度为0的向量叫做零向量 B．零向量与任意向量都不平行 C．平行向量就是共线向量 D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 2、已知单位向量，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 3、下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则与是平行向量 C. 若，则 D. 若，则向量与不共线 4、下列命题中正确的个数是（ ） ①起点相同的单位向量，终点必相同； ②已知向量，则四点必在一直线上； ③若，则； ④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. A．0 B．1 C．2 D．3 5、下列四个命题正确的是（ ） A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 6、如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与共线及相等的向量. 二 、向量的线性运算 【典例1】在中，D是的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【典例2】向量化简后等于（ ） A． B． C． D． 【