7.3 平面向量的数量积（讲）-【中职专用】中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用）

7.3 平面向量的数量积 1．向量数量积的定义 (1)定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)； (2)记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； (3)由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 2．向量的投影及向量数量积的几何意义 (1)设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． (2)在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． (3)几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积，投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。 3．向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 (1)； (2)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； (3)； (4) (5)若，则 (6)向量数量积：若，则； (7)若向量，则 一、 平面向量数量积的计算 【典例1】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知向量，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【典例3】已知，，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【典例4】已知，，且，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例5】已知，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【典例6】设，向量，且，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 1、已知向量，，则与的数量积为（       ） A．1 B．-1 C．2 D． 2、设向量，向量，向量，则向量（       ） A． B．1 C． D． 3、已知向量，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4、已知，向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 5、已知向量，若与垂直，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6、已知向量，且，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 二 、 向量数量积的性质 【典例1】已知，则（    ） A．25 B．1 C．5 D．12 【典例2】已知向量，，则（    ） A． B．5 C．2 D．4 【典例3】若向量，，则与共线的单位向量的坐标是______. 【典例4】已知向量，若与垂直，则的值为（    ） A．7 B． C． D． 【典例5】已知点、、，则的形状为________． 【典例6】已知，，，与的夹角为．若为锐角，则的取值范围是__． 1、已知向量，则（    ） A． B．1 C．2 D．5 2、已知向量，，则（    ） A． B．2 C． D．0 3、与向量方向相同的单位向量为（    ） A． B． C． D． 4、已知向量，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5、在中，，，，若为直角三角形，则的值为（    ） A． B．或 C． D． 6、已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 平面向量的数量积 1．向量数量积的定义 (1)定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)； (2)记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； (3)由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 2．向量的投影及向量数量积的几何意义 (1)设，是两个非零向量，，，考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． (2)在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． (3)几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积，投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。 3．向量数量积的性质 设，都是非零向量，是单位向量，θ为与(或)的夹角．则 (1)； (2)当与同向时，；当与反向时，；特别地，或； (3)； (4) (5)若，则 (6)向量数量积：若，则； (7)若向量，则 一、 平面向量数量积的计算 【典例1】已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故选：A. 【典例2】已知向量，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】由题意，向量，可得， 所以，故选：A. 【典例3】已知，，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D．