(教参)下册第2章 微素养、专题突破十二 切线的判定与性质应用-【精彩练习】2023-2024学年九年级全一册数学同步评价作业教师用书word+课件PPT（浙教版，浙江专用）

　切线的判定与性质应用 【例1】 已知，如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC＝BC，AC＝OB. (1)求证：AB是⊙O的切线． (2)若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦AD的长． 例1题图 　例1题答图 解：(1)证明：如图，连结OA. ∵AC＝OB，OC＝CB， ∴AC＝OC＝CB，∴∠OAB＝90°， ∴AB是⊙O的切线． (2)连结OD. ∵∠DOA＝2∠DCA，∠DCA＝45°， ∴∠DOA＝90°.∵OD＝OA＝OC＝2， ∴AD＝＝＝2. 【变式1】　如图，AB是半圆O的直径，C是半圆弧上一点，PD切圆O于点P，且PD∥BC交AB的延长线于点D. 若AB＝10，cos D＝，则PC＝__2__． 【变式2】　如图，⊙O上有A，B，C三点，D是OB延长线上的点，∠BDC＝30°，CD是⊙O的切线，⊙O的半径为. (1) 求∠A的度数． (2) 如果AC∥BD，请判断四边形ACDB是什么四边形，并求其周长． 变式2题图 　　　变式2题答图 解：(1) 如图，连结OC. ∵ CD是⊙O的切线， ∴ OC⊥CD，即∠OCD＝90°. ∵ ∠BDC＝30°，∴ ∠BOC＝60°， ∴ ∠A＝∠BOC＝30°. (2) 四边形ACDB是平行四边形． ∵ AC∥BD，∴ ∠D＋∠ACD＝180°， ∴ ∠ACD＝150°， ∴ ∠ACD＋∠BAC＝180°，∴ AB∥CD， ∴ 四边形ACDB是平行四边形． 在Rt△DOC中，∠OCD＝90°，∠BDC＝30°， ∴ OD＝2OC＝2，∴ CD＝，BD＝OB＝. ∴ 平行四边形ACDB的周长为2＋2. 【例2】 如图，平行四边形ABCD的边AD与经过A，B，C三点的⊙O相切． (1)求证：A是的中点． (2)延长DC交⊙O于点E，连结BE，若BE＝4，⊙O的半径为13，求BC的长． 解：(1)证明：如图1，连结OA交BC于点F. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠CFO. ∵AD是⊙O的切线， ∴∠OAD＝90°， ∴∠OFC＝90°， ∴OF⊥BC， ∴OA平分，即点A是的中点． (2)如图2，连结OB. ∵AB∥DE，∴∠BCE＝∠ABC， ∴＝＝， ∴BE＝AB＝4. ∵OA⊥BC， ∴AB2－AF2＝BF2， OB2－OF2＝BF2， 设OF＝x，则AF＝13－x， ∴132－x2＝(4)2－(13－x)2，解得x＝5， ∴BF＝＝＝12，∴BC＝2BF＝24. 【变式1】　如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PB与⊙O相切于点B，则PB长的最小值为(　B　) A．　　　　　　B． C．3 D．2 【变式2】　如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于点D，DE交BC于点F，且EF＝EC. (1)求证：EC是⊙O的切线． (2)若BD＝4，BC＝8，⊙O的半径OB＝5，求EC的长． 变式2题图 　　变式2题答图 解：(1)证明：如图，连结OC. ∵OC＝OB， ∴∠OBC＝∠OCB. ∵DE⊥AB，∴∠OBC＋∠DFB＝90°. ∵EF＝EC， ∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB， ∴∠OCB＋∠ECF＝90°， 即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC. 又∵OC是⊙O的半径， ∴EC是⊙O的切线． (2)∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵OB＝5，∴AB＝10， ∴AC＝＝＝6. ∵cos ∠ABC＝＝， ∴＝，∴BF＝5， ∴CF＝BC－BF＝3. ∵∠ABC＋∠A＝90°，∠ABC＋∠BFD＝90°， ∴∠BFD＝∠A， ∴∠A＝∠BFD＝∠EFC＝∠ECF. ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠EFC＝∠ECF， ∴△ECF∽△OAC， ∴＝， ∴EC＝＝＝. 【例3】 如图所示，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN，与AB，BC分别交于点M，N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为__2r__(用含r的代数式表示). 【解析】 连结OD，OE(图略). ∵⊙O是Rt△ABC的内切圆， ∴OD⊥AB，OE⊥BC. 又∵∠ABC＝90°，∴∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°， ∴四边形ODBE是矩形． ∵OD＝OE，∴矩形ODBE是正方形， ∴BD＝BE＝OD＝OE＝r. ∵⊙O与AB，BC，MN分别相切于点D，E，P， ∴MP＝MD，NP＝NE， ∴Rt△MBN的周长＝MB＋NB＋MN＝MB＋NB＋NE＋DM＝BD＋BE＝r＋r＝2r. 【变式1】　如图所示，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E. (1)若D为AC的中