2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学考点专练31：与三角形面积有关的问题及正、余弦定理的实际应用

考点专练31：与三角形面积有关的问题及正、余弦定理的实际应用 （一）学考真题 1.【2019年12月广东省学考T15】的内角A，B，C的对边分别为.已知,，且的面积为2，则（ ） A. B. C. D. 2.【2021年广东省学考T21】如图2，在，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3. (1)求的面积；（2）求边长AC的长 3.【2019年1月广东省学考T20】的内角A，B，C的对边分别为,已知. （1）求的面积；（2）若，则的值. （二）考点专练 4.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为(　　) A.4　　 B.4　 　 C.2　 　 D.2 5.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为(　　) A.　　 B.3　　 C.　　 D.7 6.在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为(　　) A.3　　 B.2　　 C.4　　 D. 7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是( ) A.3 B. C. D.3 8.若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( ) A.北偏东15° B.北偏西15° C.北偏东10° D.北偏西10° 9.如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°．在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距600 m，则铁塔AB的高度是(　　) A.120 m　　 B.480 m C.240 m D.600 m 10.海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝(　　) A.10 n mile B. n mile C.5 n mile D.5 n mile 11.某工程要将长为100 m倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( ) A.100 m　　 B.100 m C.50(＋) m　 D.200 m　 12.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________km． 13.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________ 14.如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为________ 15.某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 km到B处，再沿正东方向行走2km到C处， 则A，C两地距离为________km 16.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为_________km. 17.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＝2csin A． (1)确定角C的大小； (2)若c＝，且△ABC的面积为，求a＋b的值． 参考答案及解析： （一）学考真题 1.B 2.解：（1）在中，由余弦定理得 因为，所以 （2）因为，所以 在中，由正弦定理得 （二）考点专练 4.C　解析：∵在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2， 由正弦定理，得＝，∴＝，解得sin B＝1． ∴B＝90°，C＝30°．∴S△ABC＝×2×4×sin 30°＝2．故选C． 5.A　解析：∵S△ABC＝＝×AB×ACsin 60°＝×2×AC×，∴AC＝1． 在△ABC中，由余弦定理可得BC＝＝．故选A． 6.C　解析：∵cos C＝，0<C<π，∴sin C＝，∴S△ABC＝absin C＝×3×2×＝4 7.C 8.B 解析：如图，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－