第二章 2.1.1　等式的性质与方程的解集-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

2．1　等式 2．1.1　等式的性质与方程的解集 [课标解读]1.等式的性质.2.恒等式.3.方程的解集． 知识点一　等式的性质 文字语言 符号语言 性质1 等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立． 如果a＝b，则对任意c，都有a＋c＝b＋c. 性质2 等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立． 如果a＝b，则对任意不为零的c，都有ac＝bc. (1)因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以这个数的倒数，因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”，如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立． (2)等式性质的延伸： ①对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a＝b，那么b＝a； ②传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c(也叫等量代换). 知识点二　恒等式 1．恒等式的定义 一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等． 恒等式是进行代数变形的依据之一． 平方差公式、两数和(差)的平方公式都是恒等式． 2．“十字相乘法” 对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab. 可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx＋D，如果能找到a和b，使得D＝ab且C＝a＋b，则 x2＋Cx＋D＝(x＋a)(x＋b). 为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”． (1)运用x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和． (2)对于x2＋Cx＋D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同． 知识点三　方程的解集 1．方程的有关概念 方程 含有未知数的等式叫方程． 方程的解(或根) 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 解方程 求方程的解的过程叫解方程． 2.一元一次方程 一元一次方程 方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程． 满足的条件 ①必须是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的次数都是1. 表示形式 ax＋b＝0(a≠0)或ax＝b(a≠0). 1．(2021·江西省其他类型)已知等式a＝b，c为任意有理数，则下列等式中，不一定成立的是(　　) A．a－c＝b－c B．a＋c＝b＋c C．2－3a＝2－3b D．＝ D　[A.根据等式性质，等式两边都减c，即可得到a－c＝b－c，故这个选项不符合题意； B．根据等式性质，等式两边都加c，即可得到a＋c＝b＋c，故这个选项不符合题意； C．根据等式性质，等式两边都乘以－3，根据等式性质，等式两边都加2，即可得到2－3a＝2－3b，故这个选项不符合题意； D.根据等式性质，等式两边都除以c时，应加条件c≠0，等式不一定成立，故这个选项符合题意；故选D.] 2．(2021·山东省青岛市同步练习)化简(a＋1)2－(a－1)2等于(　　) A.2 B．4 C．4a D．4a2＋2 C　[(a＋1)2－(a－1)2＝[(a＋1)－(a－1)][(a＋1)＋(a－1)]＝2×2a＝4a.故选C.] 3．(多选)(2021·全国单元测试)下列等式中是恒等式的是(　　) A．a＋b＝b＋a B．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) C．(x＋2y)2＝x2＋4y2 D．x2－2y2＝(x－y)(x＋y) ABD　[由等式的性质知A、B选项正确； 由(x＋2y)2＝x2＋4xy＋4y2知C选项错误； 由平方差公式知D选项正确．故选ABD.] 4．方程－＝1的解集为(　　) A．{－17} B．{17} C．{4} D．{1} A　[通分得，＝1，去分母，去括号得，3x－9－4x－2＝6，系数化为1得，x＝－17，即其解集为{－17}．故选A.] 5．(2021·广东省单元测试) (十字相乘法)分解因式：2x2－x－15＝__________． 解析：　2x2－x－15＝(x－3)(2x＋5).故答案为：(x－3)(2x＋5). 答案：　(x－3)(2x＋5) 题型一　等式的性质与恒等式