第一章 1.2.3　充分条件、必要条件 -【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

1.2.3　充分条件、必要条件 [课标解读]1.充分条件的意义，判定定理与充分条件的关系.2.必要条件的意义，性质定理与必要条件的关系.3.充要条件的意义，数学定义与充要条件的关系.4.运用集合的包含关系解释充分条件、必要条件、充要条件.5.充分条件与必要条件的判断与探求． 知识点一　充分条件、必要条件 当p⇒q时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当p q时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件． 对于“p⇒q”，蕴含以下多种解释： (1)“若p，则q”形式的命题为真命题； (2)由条件p可以得到结论q； (3)p是q的充分条件或q的充分条件是p； (4)只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的； (5)q是p的必要条件或p的必要条件是q； (6)一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的． 显然，p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即p⇒q，只是说法不同而已． 知识点二　充要条件 一般地，如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件． 如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 如果p⇒q且q⇒p，则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件)，记作p⇔q，读作“p与q等价”“p当且仅当q”． 显然，p是q的充要条件时，q也是p的充要条件． 如果pq且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等． 1．(2021·辽宁省沈阳市联考题)已知a∈R，则“a>1”是“<1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由a>1可得<1成立；当<1，即－1＝<0，解得a<0或a>1，推不出a>1一定成立．所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件．] 2．(2021·山东省期末考试)设集合A、B是全集U的两个子集，则“A⊆B”是“A∩(∁UB)＝∅”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[如下图所示， A⊆B⇒A∩(∁UB)＝∅，同时A∩(∁UB)＝∅⇒A⊆B，故选C.] 3．(2021·山东省聊城市月考试卷)唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，“道在人间或可传，小还轻变已多年．今来海上升高望，不到蓬莱不是仙”，由此推断，后一句中“是仙”是“到篷莱”的(　　) A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 B　[由已知：由“是仙”可以推出“到过蓬莱”，而“到过蓬莱”不一定推出“是仙”，所以“是仙”是“到蓬莱”的充分不必要条件，故选B.] 4．用符号“⇒”与“ ”填空： (1)x2>1________x>1； (2)a，b都是偶数________a＋b是偶数． 解析：　(1)命题“若x2>1，则x>1”是假命题，故x2>1 x>1. (2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数． 答案：　(1) 　(2)⇒ 5．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的________条件． 解析：　A∩{0，1}＝{0} A＝{0}；反之，A＝{0}⇒A∩{0，1}＝{0}，所以“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件． 答案：　必要不充分 题型一　充分条件、必要条件、充要条件的判断 (1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ ①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； ②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； ③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； ④若x2＝1，则x＝1； ⑤若a＝b，则ac＝bc； ⑥若x，y为无理数，则xy为无理数． (2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ ①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； ②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； ③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； ④若x＝1，则x2＝1； ⑤若ac＝bc，则a＝b； ⑥若xy为无理数，则x，y为无理数． 点拨：　判断p是q的什么条件，关键先判断p⇒q，q⇒p，最后用定义下结论． 解析：　(1)①这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． ②这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． ③这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． ④由于(－1)2＝1，但－1≠1，p q，所以p不是q的充分条件． ⑤由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件． ⑥为无理数，但×＝2为有理数，p q，所以p不是q的充分条件． (2)①这是平行四边形的一