第三章 3.1.1　函数及其表示方法-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

3．1　函数的概念与性质 3．1.1　函数及其表示方法 第1课时　函数的概念 [课标解读]1.函数的概念.2.函数的三要素.3.求简单函数的定义域.4.求函数的值． 知识点一　函数的概念 1．变量观点的定义 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数． 2．集合观点的定义 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作 y＝f(x)，x∈A， 其中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合 {y∈B|y＝f(x)，x∈A} 称为函数的值域． 对函数概念的几点说明 (1)y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，不能认为“y等于f与x的乘积”，应理解为：x是自变量，f是对应关系(可以是解析式、图像、表格或文字描述等). (2)函数符号f(x)表示的对应关系与字母f无关，也可以用g，F，G等表示；同样，自变量x也可以用t，m，h等表示． 知识点二　函数的三要素 1．定义域 函数的定义域是函数y＝f(x)的自变量x的取值范围．在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合．在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约． (1)求函数的定义域时，常将其转化为解不等式或不等式组的问题． (2)定义域是一个集合，必须用集合的形式来表示． 2．对应关系 对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)，x∈A}中唯一的y与之对应．同一“f”可以“操作”不同形式的变量． 3．值域 函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也就随之确定了． 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应关系．即要检验给定的两个变量(变量均为数值)之间是否具有函数关系，只要检验： (1)定义域和对应关系是否给出； (2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y与之对应． 知识点三　同一个函数 一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数． 1．(2021·全国期中考试)下列图像不可能成为函数y＝f(x)图像的是(　　) A　[B、C、D都满足函数的定义，在A中，存在一个x有两个y对应，不满足函数值的唯一性．故选A.] 2．函数y＝＋的定义域为(　　) A． B． C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)∪ D　[由题意可得 解得x≤且x≠－1， 故函数的定义域为(－∞，－1)∪.故选D.] 3．(多选)(2021·甘肃省金昌市期中考试)下列函数中，定义域和值域相同的函数有(　　) A．f(x)＝5x＋1 B．f(x)＝x2＋1 C．f(x)＝ D．f(x)＝ ACD　[A选项：y＝5x＋1的定义域、值域都为R；B选项：y＝x2＋1的定义域为R，值域为[1，＋∞)；C选项：y＝的定义域、值域都为{x|x≠0}；D选项：y＝的定义域、值域都为[0，＋∞).故选ACD.] 4．(多选)下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有(　　) A．f(x)＝x与g(x)＝ B．f(t)＝|t－1|与g(x)＝|x－1| C．f(x)＝x与g(x)＝ D．f(x)＝与g(x)＝x－1 BC　[对于A，函数f(x)＝x与g(x)＝＝|x|的解析式不同，不表示相同函数；对于B，函数f(t)＝|t－1|的定义域为R，g(x)＝|x－1|的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C，函数f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝＝x的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D，函数f(x)＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，g(x)＝x－1的定义域为R，定义域不同，不是相同函数．故选BC.] 5．函数f(x)＝x2＋1，x∈{－1，0，1，2}的值域为__________． 解析：　因为函数f(x)＝x2＋1，x∈{－1，0，1，2}，所以函数的值域为{1，2，5}． 故答案为{1，2，5}． 答案：　{1，2，5} 题型一　函数的概念 根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数． (1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(