第四章 4．3．1　对数的概念-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

4．3　对数　　　　　　　　　► 对应学生用书P75 [课程标准]　1.理解对数的概念．　2.理解对数的运算性质．　3.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 4．3.1　对数的概念 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、对数的概念 1．对数：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN ，其中a叫做对数的底数 ，N叫做真数． 2．常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N . 3．自然对数：在科学、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为ln__N . 记一记：对数概念中规定a>0，且a≠1 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0，则①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1，则①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 二、对数式与指数式的互化 当a>0，a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN． 三、对数的性质 1．0和负数没有对数，即logaN中N>0 . 2．1的对数等于0，即loga1＝0． 3．底数的对数等于1，即logaa＝1(a>0，且a≠1). 4．对数恒等式：alogaN＝N． 【基点小试】 1.使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A．a>且a≠1 B．0<a< C．a>0且a≠1 D．a< 解析：选B.由题意知解得0<a<. 2. (多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A．e0＝1与ln 1＝0 B．8－＝与log8＝－ C．log39＝2与9＝3 D．log77＝1与71＝7 解析：选ABD.A选项，e0＝1⇔ln 1＝0，正确，B选项，8－＝⇔log8＝－；正确．C选项，log39＝2⇔32＝9，错误；D选项，log77＝1⇔71＝7，正确．故选ABD. 3．3log32＋log21＋log55＝________． 解析：因为3log32＝2，log21＝0，log55＝1，所以原式＝2＋1＝3. 答案：3 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　对数的概念 【练一练】 1．将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式： (1)27＝128； (2)log2＝－5； (3)lg 1 000＝3； (4)ln x＝2. 解：(1)由27＝128，可得log2128＝7. (2)由log2＝－5，可得2－5＝. (3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000. (4)由ln x＝2，可得e2＝x. 2．求下列各式中x的取值范围： (1)lg (x＋2)2；　(2)log1－2x(3x＋2). 解：(1)由(x＋2)2>0得x≠－2，故x的取值范围是{x|x∈R且x≠－2}． (2)由知 故x的取值范围是{x|－<x<且x≠0}． 【悟一悟】 利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的． 题型二　对数性质的应用 例1. 求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； (2)log3(lg x)＝1. 解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1， ∴x＝51＝5. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000. [母题探究]　把本例(1)中的“log2(log5x)＝0”改为“log2(log5x)＝1”，求x的值． 解：因为log2(log5x)＝1， 所以log5x＝2，则x＝52＝25. [总结] 　有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．当有多层对数时，应由外往里求解． 【练一练】 1．求下列各式中x的值． (1)log8[log7(log2x)]＝0； (2)log2[log3(log2x)]＝1； (3) ＝x. 解：(1)由log8[log7(log2x)]＝0，得 log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27. (2)由log2[log3(log2x)]＝1，得 log3(log2x)＝2，∴log2x＝9，∴x＝29. (3)∵＝x， ∴(－1)x＝＝＝－1. ∴x＝1. 题型三　对数的计算 例2. 求下列各式中的x值： (1)log2x＝－； (2)x＝log27. 解：(1)由l