第三章 章末总结　(三)函数的概念与性质-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

章末总结　(三)函数的概念与性质　　　► 对应学生用书P63 考点一　函数的定义域、值域 1．求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等等；由几个式子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集． 2．常见的求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法、判别式法等．求函数的值域是一个较复杂的问题，要认真观察，根据不同的题型选择恰当的方法． 3．通过求解函数的定义域和值域，提升逻辑推理和数学运算素养． 例1.(1)函数f(x)＝的定义域为(　　) A．{x|x>1} B．{x|x<－1} C．{x|－1<x<1} D．{x|x≠±1} 解析：选D.因为f(x)是分式，所以函数f(x)的定义域是使分母不等于零的实数，故x2－1≠0，即x≠±1，所以函数的定义域为{x|x≠±1}． (2)函数y＝的值域是(　　) A．(－1，] B．(－1，1) C．(－∞，) D．(－2，2) 解析：选A.函数y＝＝＝－1＋， ∵0<≤，∴－1<y≤. 【练一练】 1．若函数y＝f(x)的定义域是[0，4]，则函数g(x)＝的定义域为(　　) A．[0，1)∪(1，4] B．[0，2] C．[0，1)∪(1，2] D．[0，1] 解析：选C.函数y＝f(x)的定义域是[0，4]，f(2x)满足0≤2x≤4，即0≤x≤2，又分母不为0，则x≠1，所以函数的定义域为[0，1)∪(1，2]. 2．函数y＝的值域是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.y＝＝＝－1＋，∵≠0，∴.故0选D. 考点二　求函数的解析式 1．求函数的解析式最常用的方法是换元法和待定系数法． 2．掌握常见的基本初等函数的类型和求解析式的方法，提升数学运算和逻辑推理素养． 例2.(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________________________________； (2)已知f＝＋，则f(x)的解析式为________________________． 解析：(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1. ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1. ∵f(x)是在R上的奇函数，∴f(0)＝0， ∴f(x)＝ (2)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f＝＋， 得f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. 所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞). 答案：(1)f(x)＝ (2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) 【练一练】 3．已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________． 解析：因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋. 答案：x＋ 4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式． 解：因为f(x)的对称轴为x＝－1， 所以－＝－1，即b＝2a， 又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1， 由条件③知：a>0，且＝0， 即b2＝4ac，由上可求得a＝，b＝，c＝， 所以f(x)＝x2＋x＋. 考点三　函数性质的综合应用 1．函数的性质主要有单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意定义域的影响． 2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养． 例3.已知函数f(x)＝ax＋(x≠0，常数a∈R). (1)试判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (2)若函数f(x)在[3，＋∞)上单调递增，求a的取值范围． 解：(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．当a＝0时，f(x)＝(x≠0)，对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝＝f(x)，则f(x)是偶函数． 当a≠0时，f(x)＝ax＋(a≠0，x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 综上所述，当a＝0时，f(x)是偶函数；当a≠0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (2)任取x1>x2≥3，f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－＝a(x1－x2)＋＝(x1－x2)(a－). ∵x1－x2>0，f(x)在[3，＋∞)上单调递增， ∴a>，即a>＋在[3，＋∞)上恒成立． ∵x1>x2≥3，∴0<<，0<≤，