第二章 2．2　基本不等式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

2．2　基本不等式　　　　　　　► 对应学生用书P28 [课程标准]　1.掌握基本不等式：≤(a，b≥0).　2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题． 第一课时　基本不等式 　高效导学第一步　预习教材新知，落实必备知识 一、基本不等式 1．基本不等式：如果a>0，b>0，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 记一记：基本不等式的常见变形 (1)a＋b≥2 (其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)； (2)ab≤≤(其中a>0，b>0，当且仅当a＝b时等号成立)； (3)＋≥2(a，b同号). 二、最值定理 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． 记一记：应用上述结论时要注意以下三点： (1)各项或各因式均为正； (2)和或积为定值； (3)各项或各因式能取得相等的值． 即一正、二定、三相等，三个条件缺一不可． 【基点小试】 1．设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　) A．a<b<< B．a<<<b C．a<<b< D．<a<<b 解析：选B.由0<a<b，得a2<ab<b2，所以a<<b.由0<a<b，得2a<a＋b<2b，所以a<<b，又<，所以a<<<b. 2.已知正实数x，y满足xy＝1，则x＋4y的最小值是______. 解析：正实数x，y满足xy＝1，则x＋4y≥2＝4，当且仅当x＝4y，即x＝2，y＝时，取得等号． 答案：4 3．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为____，此时x＝____． 解析：因为0<x<1，所以1－x>0，所以x(1－x)≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值. 答案：　 　高效导学第二步　课堂互动探究，培优关键能力 题型一　对基本不等式的理解 【练一练】 1．给出下面三个推导过程： ①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；③∵x，y∈R，xy<0，∴＋＝－≤－2＝－2. 其中正确的推导为(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 解析：选B.①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确． ②当a<0时，不等式不成立，故②是错误的． ③由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式的条件，故③正确． 2．下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x>1，则x＋≥2＝2； ②若x<0，则x＋＝－≤－2＝－4； ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 解析：①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝时，即当x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x>1，所以x＋>2；③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件． 答案：② 【悟一悟】 使用基本不等式必须满足的条件 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：“一正”是要判断参数是否为正；“二定”是要看和或积是否为定值；“三相等”是一定要验证等号是否成立，如果等号不能成立，则不能用基本不等式求最值． 题型二　利用基本不等式求最值 角度1　“不正”问题 例1.已知x>0，则4－2x－的最大值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：选C.x>0时，x＋≥2＝2(当且仅当x＝1时等号成立)， 所以4－2x－＝4－2≤4－2×2＝0，即4－2x－的最大值为0. [总结] 　当所给式子均小于0时，如果积为定值，可以将负号提取，转化为两个正项的和，从而利用基本不等式求最值．要注意不能丢掉前面的负号，同时还要注意不等号方向的变化. 角度2　“不定”问题 例2.(1)当x>时，求函数y＝x＋的最小值； (2)设0<x<2，求函数y＝x(4－2x)的最大值． 解：(1)因为x>，所以x－>0，y＝x－＋＋≥2＋＝， 当且仅当x－＝时，即x＝时，等号成立，故函数y＝x＋的最小值为. (2)因为0<x<2，所以4－2x>0， 因此y＝x(4－2x)＝·2x(4－2x)≤2＝2，当且仅当2x＝4－2x， 即x＝1时，等号成立，故函数y＝x(4－2x)的最大值为2. [总结] 　有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. 角度3　拆分法转化为基本不等式 例3.若x>2，则y＝的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6