专题19 一元一次方程的应用（水箱变高了及打折销售）-2023-2024学年七年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（北师大版）

专题19水箱变高了及打折销售 【知识梳理】 知识点01用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 【点石成金】 （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 知识点02水箱变高了（等积变形问题） “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积. 常用的面积、体积公式： 长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽 长方体的体积公式：长×宽×高 正方形的周长公式：边长×4； 面积公式：边长×边长 正方体体积公式：边长×边长×边长 圆的周长公式：C=；面积公式：； 圆柱的体积公式：V柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V锥=×底面积×高 【点石成金】 寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变. 知识点03打折销售（利润问题） (1) (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 【点石成金】 寻找等量关系的方法，抓住价格升降对利润的影响来考虑． 知识点04方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 【题型探究】 题型一等积变形 1.有一个盛水的圆柱体玻璃容器，它的底面直径为12cm（容器厚度忽略不计），容器内水的高度为10cm． （1）如图1，容器内水的体积为______（结果保留）． （2）如图2，把一根底面直径为6cm，高为12cm的实心玻璃棒插入水中（玻璃棒完全淹没于水中），求水面上升的高度是多少？ （3）如图3，若把一根底面直径为6cm，足够长的实心玻璃棒插入水中，求水面上升的高度是多少？ 【答案】（1）；（2）3cm；（3）cm 【分析】 （1）结合题意，根据圆柱体体积公式计算，即可得到答案； （2）根据题意，玻璃棒完全淹没于水中，即水面上升部分的体积就等于玻璃棒的体积；设水面上升的高度为xcm，通过列方程并求解，即可得到答案； （3）根据题意，水面上升部分的体积等于玻璃棒淹没部分的体积，设水面上升高度为xcm，通过列方程并求解，即可得到答案． 【详解】 （1）容器内水的体积为 故答案为：； （2）设水面上升的高度为xcm 根据题意得： 解得： ∴水面上升高度为3cm； （3）设水面上升高度为xcm， 水面上升部分的体积为， 玻璃棒淹没部分的体积为， 得：， 解得： ∴水面上升高度为cm． 【点睛】 本题考查了有理数运算、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握含乘方的有理数混合运算、一元一次方程的性质，从而完成求解． 2.如图，用一根长为米的篱笆靠墙围成一个长方形的空地用于绿化，且平行墙的一边为长，墙的长为米. （1）若长方形的长比宽多米，此时长、宽各是多少？ （2）若在与墙平行的一边开设一个宽为米的门（用其他材料），使长方形的长比宽多米，此时所围成的长方形的面积是多少？ 【答案】（1）长为米，宽为米；（2）平方米. 【解析】 【分析】 （1）等量关系为：2×宽+长=18，把相关数值代入即可求解； （2）利用（1）的等量关系得出2×宽+长=18+1，求得长与宽，进而求出面积. 【详解】 解：（1）设长方形的宽为米，则长为米. 根据题意，得. 解得. 所以. 答：此时长方形的长为米，宽为米. （2）设长方形的宽为米，则长为米. 根据题意，得. 解得. 所以，（平方米）. 答：此时所围成的长方形的面积是平方米. 【点睛】 此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键. 题型二打折销售 4.某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案: ①一次性购物在元(不含元)以内，不享受优惠； ②一次性购物在元(含元)以上，元(不含元)以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在元(含元)以上，一律享受八折优惠； 小敏在该超市